I. — Préliminaires

36. Cette seconde Partie est consacrée à l’étude des rapports qui existent entre la théorie de l’approximation par des fractions rationnelles et la théorie des fractions continues, rapports qui ont été, en premier lieu, remarqués par Lagrange.

La première tentative faite pour représenter par une fraction continue une fonction d’une variable est due à Euler (!); jusqu’à lui, les fractions continues étaient entièrement demeurées dans le domaine de la Théorie des nombres. Le problème qu’il se propose et résout est d'obtenir une fraction continue telle que ses réduites successives soient respectivement les polynômes obtenus en limitant une série à ses différents termes successifs. Il considère, en particulier, le cas d'une série procédant suivant les puissances entières positives et croissantes d’une variable x; la fraction continue qu’il obtient a alors la forme