ME TES, L = ) PRE QUES GE

SE 1, WW’, V7 désignant des fractions continues où tous les numérateurs partiels sont des monômes du premier degré, et tous les dénominateurs partiels l'unité. Appliquant ensuite à ces différents développements une transformation fort simple, ils s’obtiennent chacun sous deux

cette remarque que la série au moyen de laquelle la fraction continue a été obtenue peut être divergente et la fraction convergente; elle est énoncée sous cette forme : « Wir haben demnach hierdureh ein Mittel den Werth unendlicher Reihen auch für diejenigen Fälle zu finden, wo die Reihen selbst divergirend werden. »

(1) Sur l'usage des fractions continues dans le Calcul intégral (Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1576. — OEuvres de Lagrange, t. IV, p. 301-332).

40 H. PADÉ.

formes nouvelles :

,2 m(m—1) , 3ë L = a, pie Ï 52 log (1 + +) 2 | a (1 x} 1 + mx l — ; e à CE en ; TZ DA TZ mx log(1= x) 1 : re ms Sa? = JU. CR eh S L T° [2] 46 HS ee 4 2 T4

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>, ©” et [2] désignent des fractions continues où tous les numérateurs partiels sont des monômes du second degré; les dénominateurs partiels sont des binômes du premier degré, sauf pour [2] où 1ls sont tous égaux à un.

Après avoirencore donné les développements de tangx, de arc tangx et quelques autres, qui, pour la forme générale, ne diffèrent pas des précédents, l’illustre géomètre cherche (n° 19) à réduire ces fractions en fractions ordinaires, « ce qui donnera lieu, dit-il, à des conséquences importantes sur la nature de ces mêmes fractions ». Ces conséquences sont que le développement en série entière de chacune des réduites coïncide avec celui de la fonction, « jusqu’à la puissance de x inclusivement qui est la somme des deux plus hautes puissances de x dans le numérateur et dans le dénominateur ». C’est sur cette conelusion, qui établit complètement le lien entre les deux théories, que se termine le Mémoire.

Depuis Lagrange, d’autres développements de fonctions particulières ont été obtenus, parmi lesquels il faut citer le développement célèbre de Gauss, relatif au quotient de deux séries hypergéométriques; mais aucun type de fraction, différent de ceux que nous avons cités, n’a été présenté. Tous les développements auxquels on à eu affaire, dans le cas, qui seul nous occupe, de æ infiniment petit, appartiennent à l’un des types précédents, ou s’y ramènent de suite en prenant pour variable une puissance entière de +.