Quelle est donc leur nature

On observe tout d'abord que chacun d’eux offre de singulières irrégularités à son début.

SUR LA REPRÉSENTATION APPROCHÉE D'UNE FONCTION, ETC. a

Si l'on s’en tient à la partie régulière, on trouve quatre formes différentes que nous avons désignées respectivement par 4, 1, © et [2 |, à savoir :

ax ax db —=1+AX + 2 VW —I+ — Dr JL mA Dep ot en AE nn, 4. ras DU Cri PR A 1 + Eu , 1 = Crsr ax?

L—I+AX- ; [ST =i+ — Ê ep + 0x : Se 5 Es ÿæ?

Here 1 + 1+., ee ) 1

Dear ee désignant des constantes.

Sont-ce donc là effectivement les seules formes qu'il y ait lieu de considérer, et, pour une fonction quelconque, peuvent-elles toutes log(1 + x)

quatre être obtenues? Peut-on, par exemple, trouver pour :

un développement avant la forme [2]? Aujourd’hui encore, la forme 4 d’Euler n’est pas considérée comme pouvant donner des fonctions rationnelles véritables approchées d'une fonction; dans son exposition de la théorie des fractions continues, Heine ne la mentionne pas: il ne considère comme générale que la forme w ('), et les formes £ et [2] ne s’y rencontrent que dans des cas particuliers.

En second lieu, pour une fonction donnée, combien y a-t-1l de frac-

og(i1+x)

tions ayant une forme donnée; pour » par exemple, nous

avons mentionné deux fractions avant la forme & ; en existe-t-il encore d'autres ayant la même forme ?- |

Telles sont les plus importantes des questions qui se posent immédiatement.