Dans ce qui suit, nous allons montrer

Que les irrégularités qui s’observent aux débuts des développements donnés sont, en réalité, soumises à une loi fort simple;

(1) Heixe, Handbuch der Kugelfunctionen, 1. Y, p.266 et suiv.: 1878. — A vrai dire, dans l'unique forme que l’auteur considère comme générale, Ics numérateurs partiels sont des fonctions entières et les dénominateurs partiels sont égaux à l'unité ($ 66); mais, le cas spécial où cette forme se réduit à la forme d5 mis à part, il serait peut-être fort difficile de citer un seul exemple d'une fraction continue de eette forme.

42 H. PADÉ.

Que, dans le cas général, trois types de fractions régulières, 4, 15, €, el trois seulement, sont à considérer;

Que la forme [2] n’est qu’un cas d'exception et doit être regardée comme rentrant dans le type général ©, un développement de cette forme [2] étant ainsi, en général, impossible à obtenir; c’est l'exemple le plus simple de fractions continues régulières exceptionnelles, en nombre illimité, offrant des types entièrement nouveaux;

Que, dans le cas général, il existe une infinité de développements de chacune des formes 4, 1, 2, et aucun des autres formes, la forme & d’Euler donnant comme les autres des fractions rationnelles approchées véritables, et non pas seulement de simples polynômes.

Enfin, tous ces résultats seront obtenus comme cas particuliers de la méthode générale à employer pour obtenir, pour une fonction entièrement quelconque, tous les développements en fraction continue, non plus régulière, mais assujettie seulement à être ce que nous appellerons sumple. Nous entendons par là une fraction où les numérateurs partiels sont des monômes de degré entier positif, et les dénominateurs partiels des polynômes également de degré quelconque, ayant un terme constant différent de zéro. L'étude de la convergence de ces fractions nous conduira à quelques résultats intéressants.

II. — Sur la définition des fractions continues; fractions continues simples et régulières.

39. A l'exemple de quelques auteurs, nous introduirons pour l’écri-

ture d’une fraction continue, les nouveaux symboles + et — définis par les formules

Pour la régularité des notations et du langage, nous devons distinguer deux formes de fractions continues, à savoir :

CH CCR Cie (1) DR EE re ARS Gas à Ca.

Nous les dirons être respectivement de la premiére et de la deuxieme Jorme. Nous nous exprimerons, quand il n’y aura pas lieu de distinguer celle des deux formes dont il s’agit, comme si nous ne parlions que de l’une d’entre elles; mais les formules, si elles ne sont pas identiques pour l’un et l'autre cas, seront écrites pour chacun d’eux ; celles qui se rapportent à la première forme étant désignées par ( Le celles qui se rapportent à la deuxième forme par (11).

Nous appellerons fractions continues partielles de la fraction continue les fractions continues limitées

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