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Xi Ci, Le CON SENNCE
(IT) , ) = t )
Si, par un calcul purement formel, nous réduisons chacune d’elles à la forme d’un quotient de deux polynômes entiers relativement aux lettres « et a, elles deviennent respectivement les fractions
que l’on nomme les redutes de la fraction continue. La réduite Ÿ. Cor- Î
respond à la fraction continue partielle terminée par le quotient incomplet a;. La règle dite loi de formation des réduites s'exprime par les for-
mules a U;-, + a; = U;, | ’ T0) Ni etai V;, | qui permettent de former successivement les polynômes des suites U,, DU, VV, NV... enpartantdes deux premiers de chacune
d'elles,
I EE i==2» U,= & a; + @, F RARES Va @;
\ = CAE cie, (H)
(Ni ar Vi= did + @.
14 I. PADÉ.
De ces formules se déduit la suivante :
(1) UV; LEA EL T2 Az + ++ Hits (IT) UV — UiVi = (— 1) lo on. à. Œitrs
applicable pour toutes les valeurs entières positives de #, et celle-ci :
Uy U, (—i)P#los oz. op ja PEER A ENS | (— To 23 +: 2g Vo \ P ‘$ Ve Ve VE Vie Se Vy=5 \ q U, Un mir) dan (—1)/ 2 cu ot»... Apr (To 2 + dy Va V» … \ \4 +1 Ve Vhp+e Va-1 Ve
applicable pour toutes les valeurs entières positives de p et g, g étant plus grand que p.
40. Une fraction continue limitée est une expression algébrique élémentaire; pour un système de valeurs des lettres x et a, elle a une valeur numérique ou est dénuée de sens suivant que les opérations indiquées sont possibles ou ne le sont pas. Si elle a une valeur numérique, la dernière réduite calculée par la loi de formation des réduites a aussi une valeur numérique, et ces deux valeurs numériques sont égales; mais la réciproque n’est pas vraie. Par exemple, la dernière réduite de la fraction
ù & Re — —- En er 1 1
est égale à zéro, tandis que cette fraction est dénuée de sens.
C'est donc faire une convention arbitraire que de compléter la définition de la valeur d’une fraction continue limitée, en la considérant comme toujours égale à la valeur de sa dernière réduite. Ce complément de définition se justifie par la considération de fractions où les quantités & et a sont des fonctions de variables æ, y, z, .... Soit ce Vos 20 --. UN système de valeurs de ces variables pour lequel la fraction n'ait pas de sens, mais tel que pour chacun des points d’un certain champ de æ6, Yo, 56, -.. elle en ait un. Pour ces points, la fraction continue est égale à sa dernière réduite. Si, dans ce champ, cette réduite est continue, sa valeur au point æ, Yo, 39, .. est la limite de ses valeurs successives quand æ, y, z, ... tendent respectivement vers
Los Vos 3os --. Sans Sortir du champ considéré. Attribuer, par conséquent, en æ5, Vos %0, -., à la fraction continue, la valeur que prend en ce point la réduite, c’est compléter la définition de manière à obtenir une fonetion continue.
De même, si l’on s’en tient à l’analogie avec les séries, on doit définir la valeur d’une fraction continue illimitée comme la limite, supposée d’ailleurs exister, de la suite formée par les valeurs de ses fractions partielles successives. Si cette suite a une limite, la suite formée par les réduites en a une également, et les deux limites sont égales. Mais la suite des réduites peut être convergente sans que l’autre le soit. Par exemple, la suite des fractions partielles de la fraction conhinue
est divergente puisque celles de ces fractions qui sont terminées par les quotients incomplets de rang 4,6, 8, ... n’ont aucun sens. La suite des réduites. au contraire, est convergente.
Des formules
UE, =; NUE URLS |
Nr, NET, nai VV, |
on déduit, en effet, pour : impair, bee Ü;:1, Ve. Vi
en sorte que, pour établir la convergence, 1l suffit de le faire pour la suite forméc par les réduites de rang impair. Or, pour z impair, on à, en vertu des formules précédentes,
U;:+ Unes >; l ( : : 9 \
u , L== 9 he ooi
Vis Vire Vs | .
Ces réduites de rang impair sont donc celles de la fraction continue
et forment, comme on sait, une suite convergente.
16 IH. PADÉ.
lei encore, il est facile de montrer, en supposant les éléments de la fraction continue fonctions de variables æ, y, z, ..., l’avantage qu'il v a à compléter la définition en considérant la fraction continue comme toujours égale à la limite, supposée exister, de la suite des réduites. Supposons que, pour les valeurs æ,, y,, z,,... des variables, une infinité de fractions partielles soient dénuées de sens, tandis que, au contraire, pour tous les autres points d’un certain champ de x,, Vos %+ -.. toutes celles d'entre elles dont le rang surpasse un nombre déterminé en aient un; si, dans ce domaine, la suite des réduites est uniformément convergente, et si toutes les réduites, à partir d’un rang déterminé, sont des fonctions continues de x, y, =, ..., la limite de cette suite est également une fonction continue de ces variables. Donc, attribuer en æ,, yo, 36, -.. à la fraction continue, pour valeur numérique, la limite de la suite des réduites, c’est encore compléter la définition de manière à obtenir une fonction continue.
Nous avons affaire, dans ce qui suit, à des fractions continues où les quantités « et a sont des fonctions d’une variable x; nous adopterons donc, comme définition de la valeur de la fraction, celle qui résulte de la considération de la suite des réduites. Les fractions continues partielles ne jouent plus dès lors aucun rôle, et une fraction continue n’est plus à considérer que comme un algorithme commode pour figurer une lot de formation de deux suites de polynômes.
41. Si les éléments d’une fraction continue sont des polynômes entiers en æ, ses réduites sont des fractions rationnelles, irréductibles ou égales à certaines fractions rationnelles irréductibles.
Réciproquement, étant donnée une suite de fractions rationnelles irréductibles
Ne GPO
DTA
telles que les expressions
U;, LE LAVER UV, (RENTE 2 3, ...)s
a <2 soient différentes de zéro, on peut toujours former une fraction con-
tinue ayant pour éléments des polynômes entiers en æ et dont les réduites successives soient respectivement égales à ces fractions. Il
résulte, en effet, des formules du n° 39 que, étant données les deux suites de quantités
Le .
CRE SD CRE CN tre
il ya, si V, est égale à 1, une fraction continue de la première forme, et une seule, telle que ces suites soient celles formées respectivement par les numérateurs et par les dénominateurs des réduites successives; les éléments de cette fraction sont donnés par les formules suivantes, où V, doit être supposé égal à l'unité :
nn UV: — UV, ERA ET — %7 ) 3 — Nr sm i— = - : ) V; . V, LUE DANSE | a É . , = res r U;,V;— U;,V i—2 Go NT: mr
Dir Uri Vire
De même, les deux suites données déterminent une fraction continue de la seconde forme et une seule; ses éléments sont donnés par les formules
+aspe D OOINe UNE Me PU ER
