U, ‘ BÉSAEE AIO U, HE ET AO
CAN, DÉS === Te ee = A) |
URE V LT U;Y i=2
On voit que, en général, les éléments de ces fractions continues sont des fractions rationnelles. Mais on peut évidemment, sans altérer la valeur des réduites, multiplier les éléments de la fraction continue par des polynômes tels qu'on la transforme en une autre où tous Îles éléments soient des polynômes entiers en æ. Le numérateur et le dénominateur d'une réduite quelconque sont encore des polynômes entiers en æ, mais qui ne sont plus nécessairement premiers entre eux. Les réduites de cette nouvelle fraction continue sont respectivement égales aux fractions rationnelles irréductibles données.
Le problème de la recherche d'une fraction continue, dont les éléments soient des polynômes entiers en x et dont les réduites sotent égales à des fractions rationnelles irréductibles données, admet ainsi une infinité de solutions. Mais, parmi ces fractions continues, nous allons ne considérer qu'un groupe important formé par celles que
18 I. PADÉ.
nous nommerons les /ractions continues simples, et pour lesquelles le problème ne peut plus admettre qu’une seule solution.
42. Une fraction continue sera dite semple si les numérateurs partiels-sont des monômes entiers en æ dont le coefficient et le degré sont différents de zéro, sauf pour &, qui doit être une constante différente de zéro, et si, en outre, les dénominateurs partiels sont des polynômes entiers en æ avant un terme constant différent de zéro.
De cette définition découlent immédiatement deux conséquences qui sont le fondement de toutes les propriétés des fractions continues simples.
La première est que tous les numérateurs et dénominateurs des réduites d’une fraction continue simple ont un terme constant différent de zéro. Les quantités 4; S'annulent, en effet, sauf &,, pour æ = 0, tandis que les quantités a; se réduisent chacune à une constante différente de zéro; on voit alors, par les formules qui expriment la Joi de formation des réduites (n" 39), que, si U;., et V;, ont chacun un terme constant différent de zéro, U; et V; en ont également un. Or les polvnômes U,, V,, U,, V, en ont chacun un, donc aussi les polynômes Let.
La seconde conséquence est que, pour une fraction continue simple, les quantités U,V;,, — U;,, V;se réduisent chacune à un monôme entier en æ, ayant un coefficient différent de zéro, et un degré qui croit quand # augmente.
43. De ces propriétés se déduit d'abord l'irréductibilité des réduites d'une fraction continue simple; d’un côté, en effet, les polynômes U, et V;ne sont ni l’un, ni l’autre divisibles par æ; de l’autre, ils ne peuvent avoir d'autre facteur commun qu'une certaine puissance de x : donc ils sont premiers entre eux.
En second lieu, les réduites d’une fraction continue simple sont toutes différentes entre elles. Cela résulte des deux dernières formules
‘ « Te U Ur ; :
du n°39; si, en effet, les réduites y tt y étaient identiques, le pre- P T
mier membre de l’une ou de l’autre de ces formules serait identiquement nul. Or, en raison de la nature des quantités U,V;,, — U,., V,, le second membre est évidemment le produit d'une certaine puissance
de æ par une quantité qui, pour æ — 0, est continue et différente de zéro; pour une valeur de x très voisine de zéro, ce second membre est donc différent de zéro; il n’est pas identiquement nul, et l’impossibilité est manifeste. Ainsi :
Les réduites d'une fraction continue simple sont des fractions rationnelles irréductibles toutes différentes entre elles.
Re U. U : : :
Remarquons encore que la différence &7 — &? est infiniment petite q P
eu même temps que æ, et que son ordre infinitésimal croît en même temps que l'entier positif p plus petit que g.
44. I résulte du théorème précédent qu'il ne peut y avoir qu'une seule fraction continue simple, telle que ses réduites successives soient respectivement égales à des fractions rationnelles irréductibles
données U, US U; ODA OA
les suites Ur U:, U:, .., \£T V, V;,
sont, en effet, celles que doivent alors former respectivement les numérateurs et les dénominateurs des réduites successives. Mais il est évident qu'une fraction continue simple, soit de la première forme, soit de la seconde forme, ne correspondra à ces deux suites que si les polvnômes qui les composent satisfont à certaines conditions. Ces conditions sont faciles à déterminer.
D’après ce qui précède, les polynômes U et V devront avoir chacun un terme constant différent de zéro, et chacune des quantités
Ü; Vis ES Ü;;: V;
devra se réduire à un monôme entier en x, ayant un coefficient différent de zéro, et un exposant qui croit quand # augmente. De plus, évidemment, les polynômes U,, U,, V,, V, devront être tels que Îles
quantités
(1) js Cas A,
(1) is is Ur, P. 3
50 H. PADÉ.
prennent respectivement les formes qu’elles sont assujetties à avoir dans une fraction continue simple.
Ces conditions nécessaires sont suffisantes. Si elles sont remplies, 2, se réduit, en effet, quand c& est plus grand que 1, à un monôme entier en æ dont le coefficient et le degré sont différents de zéro ; mails, en outre, a; est bien un polynôme entier en æ ayant un terme constant différent de zéro, car c’est le quotient du polynôme U;,V;— UV; par le monôme U;,V;., — U, , V;,, et, en vertu de la relation
Us + a; Us = U;; ilne s’annule nine devient infini pour x — 0.
45. Nous sommes convenus de regarder une fraction continue comme convergente, quand la suite de ses réduites est convergente; la limite de cette suite est alors la valeur de la fraction continue (n° 40). Dans le cas où l’on a affaire à une fraction continue simple, il est aisé de pénétrer davantage la nature de cette limite.
Remarquons d'abord que l’on peut toujours supposer, dans les poly-
nomes (1) GT ne ee De (IT) di; A), A3, ss
le terme constant rendu égal à l'unité; dans une fraction continue de la première forme, on rendra aussi le terme constant de a, égal à l’unité, en divisant la fraction par une quantité constante convenable. Quand tous les termes constants des polynômes a ont ainsi été rendus égaux à l'unité, ceux des polynômes U et V sont aussi égaux à l'unité: dans ce qui suit, nous supposerons qu'il en est ainsi.
Par la formule
Du? nr Cars nimes Ernie se,
Von V,V F Ve Es PRE NET RE q P P Pi p+1 p+2 \ PA) 4
U, U, Co ei Gr MA a (moque au
\ q \ P \ P Ven Vu \ p+2 NE NS
l'étude de la convergence de la suite des réduites est ramenée à celle
de la série illimitée :
| ( SD Le EL L node (i)P ad.
F J£ 7 Ù ES: V hp Vp+i RSEQURE Vp+2 Vp+s | (11) CH) dans res AD TE DOTE mn rriai. .. 2
TV ] T 7 \ DV p+i \ p+i \ p+2 \ pP+2 NV? 3
Les numérateurs des termes de cette série sont des monômes entiers dont les exposants vont en croissant quand on passe d’une fraction à la suivante; ce sont des termes consécutifs de la série entière :
(1) Clg — On A3 + Ua A3 —... + (—1) ass... Ay+...,
(8) | LT) —œa+ mia ts — Qi Hat Œs + . — (— 1) one Up Heu. Soit (C) le cercle de convergence de cette série. Considérons un ensemble (H) de points du plan tels que, pour chacun d'eux et pour toutes les valeurs de l’entier / supérieures à un nombre positif fixe A, on ait
