RE EN TIEN
net N désignant deux nombres positifs fixes. Pour chacun des points de l’ensemble (H), la série (S), où l’on suppose p plus grand que A, et la série (S’) sont convergentes et divergentes en même temps. La fraction continue converge donc en tous les points de l’ensemble (H) qui sont intérieurs au cercle (C), elle diverge en tous les points de cet ensemble qui sont extérieurs au cercle (C). En raison de cette propriété, nous nommerons le cercle (C) cercle de convergence de la fraction continue simple.
46. D'après cela, une fraction continue simple ne converge pas nécessairement en tous les points intérieurs à son cercle de convergence; toutefois elle ne saurait être divergente en un tel point que S'il donne lieu à la circonstance suivante : on doit pouvoir, avec des termes de la suite illimitée (1) NACRE APE ENCORE former une seconde suite, illimitée également,
(2) B'ACANE | Vie;(æ), Ver (el, …..,
tj, k, .…. étant des entiers positifs, qui ait zéro pour limite.
52 I, PADÉ.
D'abord, cette circonstance se présente si la suite (1) renferme un nombre illimité de termes nuls: il est évident qu’alors la fraction continue est divergente, puisque ses réduites sont irréductibles. Supposons donc ce cas exclu.
Supprimons de la suite (1) tous les termes nuls, ef soit
(e) Es €) Enr
une suite illimitée de nombres positifs décroissants, qui ait zéro pour limite. S'il n’y a pas un seul des termes de la suite (1) qui soit plus petit que €,, la fraction continue est évidemment convergente; sinon soit | V;(æ)] le premier des termes de la suite (1) plus petit que &,. Soit &, un terme de la suite (£) qui soit plus petit que | V;(æ)f; sil n’y a pas un seul des termes qui, dans la suite (1), viennent après |V;(æ)}, qui soit plus petit que &,, la fraction continue est convergente; sinon soit | V;,;(æ)| le premier des termes venant après |V;(x)| plus petit que «;. Soit e, un terme de la suite (e) qui soit plus avancé, dans cette suite, que le terme e;, et qui soit plus petit que | V;,;(x) on verra de même que la fraction continue est convergente ou bien qu'il existe un terme |V;,;,,(æ)| de la suite (1), plus avancé que IV;,,(æ) let plus petit que #,. En continuant ainsi, on voit que l’une ou l’autre de ces deux conclusions s'impose : ou bien la fraction continue est convergente, ou bien l’on peut former avec des termes de la suite (1) une seconde suite illimitée (2) dont les termes soient plus petits respectivement que des termes €,, e,, e,, ... de plus en plus éloignés de la suite (e), et ayant, par conséquent, zéro pour Himite; c'est ce que nous voulions démontrer.
La fraction continue n’est pas non plus nécessairement divergente en tous les points extérieurs au cercle de convergence; un raisonnement semblable à celui que nous venons de faire montre toutefois qu’elle ne saurait être convergente en un tel point que si, avec des termes de la suite (1), on peut former une suite (2) ayant l'infini pour limite.
On à ainsi cette proposition :
e mn
Une fraction continue simple est convergente à l’intérieur de son cercle de convergence, sauf, peut-être, en chaque point x tel que. en supprimant
de la suite formée par les valeurs absolues en ce point des dénominateurs des réduites successives un nombre limité ou illimité de termes, on puisse obtenir une suite illimitée ayant zéro pour limite.
Une fraction continue simple est divergente à l'extérieur de son cercle de convergence, sauf, peut-être, en chaque point x tel que, en procédant comme ilvient d'être dit, on puisse obtenir une suite illimitée ayant l'infix pour lmute.
47. Supposons que tous les points d’une partie (y) du plan intérieure au cercle (C) appartiennent à l’ensemble de points (H); dans ce champ (y) la fraction continue définit une fonction y de x :
(1) UD, Nom nr (Hdi ? = Vi ï V V : & V EAN. L EE ; p p Ÿp+ D p+2 rats CS NE RC TT (TPE ar Cape (I) V=S - V P V'Vp+1 ee Vore
Le polynôme V, ne s’annule en aucun point du champ (y), car p est supposé plus grand que A; la série qu'il faut ajouter au premier terme du second membre pour avoir y, et que nous avons appelée S, est uniformément convergente, car ses termes sont, en valeur absolue, plus petits que ceux d'une série convergente à termes positifs, facile à former; en outre, les termes de la série sont des fonctions continues de æ. On conclut de [à que y est une fonction continue de æ dans le champ (y), contour compris.
Soit + un point quelconque intérieur au champ (+); considérons un cercle avant ce point pour centre et un rayon assez petit pour qu'il soit tout entier intérieur au champ. Dans ce cerele, chacun des termes de la série (S) est développable en une série entière convergente, et 1l s'ensuit que l’on peut obtenir, en prenant pour intermédiaire une série à double entrée absolument convergente, la fonction y sous la forme
é : : US
d’une somme ayant pour premier terme la fraction rationnelle &?, et 4 p
pour second terme une série entière convergente. On en conclut que
la fonction y a une dérivée au point x; ainsi : Dans toute partie du plan intérieure au cercle de convergence et dont tous les points appartiennent à l'ensemble de points (), la fraction con-
54 I. PADÉ.
tinue simple définit une fonction analytique continue uniforme de x. L'existence de la dérivée n’est toutefois pas établie pour les points du contour de la partie considérée du plan.
48. La principale difficulté de l'étude de la convergence d'une fraction continue simple se trouve dans la détermination de l’ensemble de points (H); cette détermination résulte de l'étude du polynôme V,(x) quand x grandit indéfiniment.
Un cas où il est particulièrement facile de déterminer quels sont ceux des-points d’une partie (P) du plan qui appartiennent à l’ensemble (H) est celui où, dans cette partie (P), le polynôme V,(x) tend uniformément vers une fonction connue; toute partie du plan, appartenant à (P), où le module de cette fonction reste supérieur à un nombre positif fixe, fait alors partie de l’ensemble (H). Si, en partieulier, la fonction limite est continue, son module restera supérieur à un nombre positif fixe dans toute partie du plan qui ne contient aucun zéro de la fonction; dans ce cas, tous les points de (P), sauf ceux qui correspondent à des racines de la fonction limite, sont des points de l’ensemble (H). Ces remarques trouveront plus tard leur application.
49. Au point de vue de l'étude de la convergence, on voit combien il y a intérêt à ce que la loi de succession des polynômesV,, V,,V,, ..… soit simple; et comme cette loi de succession dépend évidemment de celles des éléments de la fraction continue elle-même, on est conduit à distinguer, parmi les fractions continues simples, celles où cette loi de succession offre quelque régularité; une classe qui joue un rôle considérable est formée par celles que nous appellerons fractions conhinues régulières et que nous définirons immédiatement.
Une fraction continue régulière est une fraction continue simple dans laquelle, avec exception permise pour les éléments
(1) Ajs Co;
(1H) His js Co;
tous les numérateurs partiels ont le même degré, ainsi que tous les dénominateurs partiels.
Nous serons d’ailleurs amenés, dans certains cas exceptionnels qui seront complètement précisés, à nous écarter un peu de cette définition.
ITT. — Les fractions continues de l'ensemble (E).
50. Les fractions continues d'Euler et de Lagrange, que nous avons citées dans le n° 36 sont des fractions continues régulières, et, par conséquent, des fractions continues simples. Comme l’a remarqué Lagrange, les réduites de ces fractions font partie de l’ensemble (E) relatif à la fonction qui leur a donné naissance; on est ainsi amené à rechercher comment on doit choisir dans l’ensemble (E) des frac-
U, Le tions = V Ÿ. >," "> pourqu elles soient les réduites successives d’une fraction continue régulière, et plus généralement, d’une fraction con-
tinue simple.
Les réduites d’une fraction continue simple étant toutes différentes entre elles, nous pouvons nous borner à la considération des fractions distinctes de l’ensemble (E), et l’on est ainsi ramené à la conception géométrique du Tableau des fractions distinctes telle que nous lPavons exposée dans le n° 27. C’est sur ce Tableau seul que vont porter maintenant nos raisonnements, et comme sa notion repose essentiellement sur le théorème de la distribution des fractions de l’ensemble (E), l'importance de ce théorème et l'unité de notre étude vont se trouver entierement mises en évidence.
51. Pour arriver à connaître comment doivent être choisies, dans le Tableau des fractions distinctes, des fractions pour qu’elles soient Les réduites d’une fraction continue simple, nous examinerons d’abord la
nature des expressions de la forme U;V;— U,V;, où y et ge désignent deux fractions quelconques de ce Tableau.
Cherchons d'abord quel est le degré de ce polynôme. Soient &;, &:, 2, 21 les degrés respectifs des polynômes U,, U,, V;, V;. Le degré de U;V,est &,+ ,, celui de U;V; est &; + ©.
Si les quantités &,+ 9, et &,+ 9; sont inégales, le degré du polynôme U;V;— U,V;, est égal à la plus grande des deux. Or, de la
)6 I. PADÉ.
relation Dit Or D t Qis
on déduit Dj Di Dy— Ve
Dans le Tableau, toutes les fractions pour lesquelles & — + à une même valeur sont situées sur une même droite parallèle à la diagonale principale du Tableau. Cette droite est d'autant plus basse que la valeur de & — © est plus petite, en sorte que si celle de ces lignes à laquelle
LL NS x correspond la fraction = est plus élevée que celle à laquelle corres- 1) É
me pond la fraction a on a Æ
Di D > 0},
et, par suite, Di + Pr Dr + 0;;
on en conclut que le degré du polynôme U;V;— UV; est alors égal AND 0.
Si les quantités &;+ 2, &,+ 9; sont égales, le degré du polynôme U;V,— U;V;est, en général, égal à cette quantité. Mais, exceptionnellement, il peut être plus petit. Dans le Tableau relatif à la fonction dE nn, parexemple, ce cas exceptionnel s'offre pour les fractions qui correspondent aux couples (0, 1), (2,3). Dans le Tableau relatif à e*, deux fractions quelconques de la file principale qui ne sont séparées que par une seule troisième fraction de cette file offrent la même circonstance.
On peut ainsi énoncer cette règle :
St la ligne parallèle à la diagonale principale sur laquelle est la
fraction pest au-dessus de celle sur laquelle est la fraction ve le degré du polynôme U,V;— U;V; est &;+ 94. La même règle est généralement encore applicable quand les deux lignes coincident, mais, exceptionnellement, le degré peut alors être plus petit.
Cherchons maintenant le degré du terme de moindre degré dans le polynôme U, V; — U,V;.
Es RL L Supposons d’abord la fraction ÿ. Moins avancée dans le Tableau que î
re
SUR LA REPRÉSENTATION APPROCHÉE D'UNE FONCTION, ETC. 2e
Ux
Ve
la fraction =7; on a alors Non < or) mais des relations U; U:
Vraie: = — F V; ( )s M
on déduit UV; UV;=(xziiv),
ce qui montre que le terme de moindre degré du polynôme est de JegTÉ No os:
Si les fractions sont également avancées, n,,., est égal à n,,.,; le degré est alors encore, en général, égal à cette quantité; mais il peut être aussi, exceptionnellement, plus grand, comme on en a un exemple avec les fractions qui correspondent aux couples (2,0) et (o, 2) dans le Tableau relatif à e*.
On arrive ainsi à cette règle :
Si la ligne perpendiculaire à la diagonale principale sur laquelle est
: U; Ë U; ' la fraction T est avant celle sur laquelle est la fraction D: le degré og kÆ
du terme de moindre degré dans le polynôme U;V,— UV; est égal à No La même règle est généralement encore applicable quand les deux lignes coincident, mais, exceptionnellement, le degré peut alors être plus grand.
