EE , .. U

Ceci posé, supposons que la fraction Y. ne soit sur aucun des pro-

: ; LUE ; à longements des diagonales du carré relatif à &> et qu'elle soit la plus .

avancée des deux fractions. Si la droite parallèle à la diagonale principale sur laquelle elle se trouve est au-dessus de celle qui est relative à

U; ; à x ÿ> les degrésextrêmes du polynôme U,V;— U,V; sont &;+ 9;+m;+1

et o,+ 9,; sielle est au-dessous, ils sont &;+ 9;+ m;+ 1 et oi + gx on a donc nécessairement suivant le cas

Det Di Dit Pi EM HI, Dit Paz Dit Pit Mi.

Le polynôme U;V;— UV; a, en général, plusieurs termes; pour qu'il a 8

58 H. PADÉ,

soit un monôme, il faut et il suffit que l'on ait, suivant le cas, Dr Di + Mi+i, Oro Time:

I 4 A té f > a |: 1 b Uk ] 1 in ce qui montre qu'un des côtés du carré relatif à V doit avoir au k

moins une partie commune soit avec le côté vertical de droite, soit

avec le côté horizontal inférieur du carré relatif à &> c’est-à-dire que

z le second carré doit être contigu au premier (n° 8). s (Ur ] Reste à examiner le cas où la fraction &= est sur le prolongement de k ) - 2 ses Ui l’une ou l’autre des diagonales du carré relatif à +: Î Supposons-la d'abord sur le prolongement de la diagonale qui est parallèle à la diagonale principale; le degré du terme de degré inférieur du polynôme U,V;— U,V;est &,+9,;+m;+1, celui du terme de degré supérieur est au plus égal à &;+ »,. On à donc

Di Pr Di + Pi Mi HI.

Si ©, est égal à 9; + m;+1,le polynôme se réduit sûrement à un

monôme, et le carré relatif à < est encore contigu au carré relatif k

V5 mails, si ©, est plus grand que 2;+ m;+ 1, l'expression peut être un polynôme ou un monôme, le degré du terme de degré inférieur du polynôme, ou le degré du monôme étant égal à &;,+0;+m;+1.

Si la fraction est sur le prolongement de l’autre diagonale, on voit, par la même méthode, que le polynôme se réduit à un monôme si le

; 0 : à : : HSOUT RE / carré relatif à y; St contigu à celui qui est relatif à V: Si les carrés kÆ i

ne sont pas contigus, l'expression se réduit à un polynôme ou à un monôme; le degré du polynôme ou du monôme est nécessairement plus grand que &;+0;+m;+ 1; il est &; +; ou D; + 9x SulVant Uz que &= est sur le prolongement vers le haut, ou sur le prolongement k è

vers le bas de la diagonale.

Nous obtenons ainsi ce théorème, où, par premiére diagonale d'un carré, nous entendons celle des diagonales de ce carré qui est paral-

SUR LA REPRÉSENTATION APPROCHÉE D'UNE FONCTION, ETC. 59 lèle à la diagonale principale, et par seconde diagonale du carré, l’autre diagonale :

NU NU, Sotent V. el v: deux fractions du Tableau, et supposons que la pre-

mère n'y sou pas plus avancée que la seconde.

St les carres relatifs aux deux fractions sont contigus, l'expression UVi— U,V;se réduit à un monôme de degré égal à m;+ 9;+ m;+1.

Si les carrés ne sont pas contigus, l'expression est, en général, un polynôme dont le terme de degré inférieur est de degré &;+ 9;+m;+1,et celu de degré supérieur de degré + 0; où &,+ ©, suivant que l’on a Dit D; +0 Où Dit 0, w;+0,. Deux cas d'exception seulement peuvent se presenter : 1° Quand les premuëres diagonales des carrés sont sur une même droue; ul peut alors arriver qu'une réduction s'opère entre les termes de degrés supérieurs de l'expression qui les fasse disparaitre ; cetie réduction peut aller jusqu'à ramener l'expression à un monôme dont le degré sera égal à ©, + 9;+ m;+ 1; 2° Quand les secondes diagonales des carres sont sur une même droite; 1l peut alors arriwer qu'une réduction s'opère entre les termes de degrés inférieurs de l'expression qui les fasse disparaitre ; cette réduction peut aller jusqu'à ramener l'expression à un monôme dont le degré sera égal à la plus grande des deux quanlilés + 0x, Dr + Qi.

52. Supposons maintenant que, dans notre Tableau, aucune des deux réductions exceptionnelles mentionnées à la fin du théorème ne se présente, et imaginons que les réduites d’une fraction continue simple de la première ou de la deuxième forme soient des fractions de

FE QUE Ar trois réduites consécutives; nous ; D È à Ve? Vis V;

connaissons les conditions auxquelles satisfont les quantités (n° 44)

ce Tableau. Soient

(1) eV UV, (œ) Un Vs UV;

D'abord, de ce que la première se réduit à un monôme, on conclut

i—2 i—1 ® = ef =— sont contigus.

LE V;.… ee

En second lieu, on voit immédiatement que la fraction

que les carrés relatifs aux fractions

Ui-

| est

60 H. PADÉ.

moins avancée que la fraction > car, s'il n'en était pas ainsi, le degré du monôme (2) ne serait pas plus grand que celui du monôme (1).

Enfin, si la fraction continue est de la première forme, la première réduite est une fraction telle que le carré correspondant a un côté sur le bord supérieur du Tableau; si elle est de la seconde forme, la première réduite est une fraction telle que le carré correspondant à un côté sur le bord latéral du Tableau.

Telles sont les conditions qui règlent la situation dans Île Tableau des réduites de la fraction continue.

Réciproquement, soient Lt, 2, U?, ... une suite de fractions prises

V; Va V:

dans le Tableau et satisfaisant à ces conditions, on peut s'assurer 1mmédiatement que la fraction continue correspondante est simple, si toutefois on prend une fraction continue de la première forme ou de la

J U e seconde forme suivant que ÿ. est une fraction du bord supérieur ou du

bord latéral du Tableau.

Nous avons ainsi ce théorème :

Pour obtenir une suite de fractions du Tableau (E) suppose sans cas exceptionnels, telles qu'elles soient les réduites successives d'une fraction continue sunple, 1 faut et ul suffit qu'elles soient choisies de la façon sutvante :

1° La premuére fraction de la suite devra étre une fraction du bord du Tableau ;

2° Les carres correspondants à deux fractions consécutives quelconques devront toujours être contigus ;

3° Une fraction quelconque devra toujours étre plus avancée dans le Tableau que celle qui la précède.

Il résulte de ce théorème que si les réduites successives d’une fraction continue simple appartiennent toutes au Tableau (E), elles forment nécessairement une suite de fractions rationnelles de plus en plus approchées de la fonction.

»3. Considérons maintenant le cas plus particulier où le Tableau (E) ne se compose que de fractions normales; nous supposons encore,

SUR LA REPRÉSENTATION APPROCHÉE D'UNE FONCTION, ETC. Gt

comme dans ce qui précède, qu'aueun des cas exceptionnels mentionnés à la fin du théorème du n° 51 ne se présente.

Trois fractions consécutives À, B, C, faisant partie d’une suite de fractions correspondant à une fraction continue simple, peuvent offrir neuf dispositions différentes que voici :

(1) (2) jA|B]|C A Ra ASE

11 11 Te (3) A 21 21

Le Tableau (2) est simplement le symétrique du Tableau (1) par rapport à une parallèle à la diagonale principale menée par A. Au-dessous de chaque fraction C figurent deux nombres; ce sont les degrés des éléments & et a de la fraction continue qui correspondent à cette fraction C; on les obtient aisément au moyen des règles que nous avons établies antérieurement, et il est alors immédiat de voir quelles sont les dispositions qui peuvent conduire à des fractions continues régulières (n° 49).

Pour obtenir une telle fraction, 1l faut, en effet, choisir dans le Tableau les fractions de telle sorte que tous les éléments « aient le même degré, ainsi que tous les éléments &. On voit tout d’abord que trois types réguliers seuls sont possibles, puisque, dans les dispositions précédentes des fractions A, B, C, on ne trouve que trois couples de nombres, à savoir les couples

Il est maintenant aisé de voir que tous sont possibles. Considérons d’abord le couple (2,1); il ne se présente que dans Le Tableau (3); si

donc l’on a une fraction continue régulière où tous les numérateurs partiels soient du second degré et tous les dénominateurs partiels du

62 H. PADÉ.

premier degré, trois réduites consécutives quelconques À, B, C offriront l’une des trois dispositions indiquées dans ce Tableau; mais B, CU et la fraction suivante devront aussi présenter l’une de ces dispositions; donc la fraction C ne peut être que la fraction du Tableau (3) qui est située sur une même droite avec A et B. Ainsi les réduites de la fraction continue sont les fractions successives d’une droite parallèle à la diagonale principale. La réciproque est évidente. Ce type de fraction continue régulière est celui que nous avons appelé antérieurement €, la seconde forme de Lagrange.

On établit absolument de même que au couple (1,0) correspond la première forme de Lagrange, que nous avons nommée #. Ce couple se présente dans les Tableaux (1) et (2). Si l’on considère trois fractions A, B, C de l’un de ces Tableaux, les deux fractions B, C devront avoir

l’une des dispositions affectées par À et B dans l’un quelconque des mêmes Tableaux. Il est facile d’en conclure que la suite de fractions à adopter pour avoir une fraction continue régulière où tous les numérateurs partiels soient du premier degré et tous les dénominateurs partels du degré zéro doit être telle que, quand on passe d’une fraction à la suivante, on se déplace parallèlement à l’un des bords du Tableau, si l’on passe encore à la suivante, on se déplace parallèlement à l’autre bord, et ainsi de suite; la forme générale du chemin est ainsi celle d'un escalier à degrés égaux ayant pour direction générale celle de la diagonale principale; les deux premières fractions de la suite doivent appartenir à la première file horizontale ou à la première file verticale. Réciproquement, à une suite de fractions ainsi choisies correspond une fraction régulière de la forme 19.

La considération du couple (1,1) montre de même que, pour obtenir une fraction continue régulière ayant tous ses numérateurs partiels et tous ses dénominateurs partiels du premier degré, on doit prendre toutes les fractions d’une droite parallèle à l’un quelconque des bords du Tableau. On a ainsi la forme de fraction continue que nous avons désignée par «4. La fraction d’Euler est le cas où l’on prend les fractions de la première file horizontale du Tableau.

Nous pouvons résumer tout ceci en disant :

Dans un Tableau sans cas exceptionnels el composé uniquement de

fractions normales, on peut choisir de trois manières différentes des fraclions de façon à obtenir les réduites successives d’une fraction continue régulière ; ce sont les seules manières possibles.

À l’une quelconque de ces manières correspondent une infinie de frac- Lions continues régulières pour toutes lesquelles les éléments x de la partie régulière ont le même degré, ainsi que les éléments a. La différence, au pont de vue de la forme, entre deux quelconques de ces fractions, se trouve dans leurs parties régulières qui dépendent de la première fraction de chacune des suites, cette premiére fraction pouvant étre, en effet, une fracuon quelconque du bord du Tableau.

54. Revenant maintenant à un Tableau entièrement quelconque, voyons quelles modifications il y a à apporter aux résultats précédents.

Reprenons le raisonnement qui nous a servi à obtenir la situation, dans le Tableau, des réduites d’une fraction continue simple. Il repose sur la considération des deux quantités

(1) UNE UNE, (2) UD; V;— LE No

La quantité (1) étant un monôme, on en conelut que les frac-

et L=:

Le Vi

suivantes :

Ou elles sont contigués ;

Ou bien elles ne sont pas contiguës, mais les premières diagonales des carrés correspondants sont sur une même droite et, par une réduction exceptionnelle des termes de degrés supérieurs, l’expression DV; — U,:, V;,-est ramenée à un monôme;

Ou bien enfin elles ne sont pas contiguës, mais les secondes diagonales des carrés correspondants sont sur une même droite et, par une réduction exceptionnelle des termes de degrés inférieurs, l'expression U;,,V;-, — U,., V;, est ramenée à un monôme.

tions offrent, dans le Tableau, l’une des trois dispositions

Ceci posé, nous distinguerons trois cas, suivant que la fraction V

6 H. PADÉ.

est moins avancée, plus avancée, ou aussi avancée, dans le Tableau

SALE E que la fraction Ft

Vie

; ; : LES est moins avancée que la fraction & CONCSLUA

1° La fraction v.

; ; : tre situation de cette fraction V.

pour que le degré du monôme (2) soit plus g grand que lui, il fautetil

: qui règle alors le degré du monôme (1);

suffit que la fraction = Ur soit plus avancée que

V; re . (US Us » Ne 2° La fraction &— est plus avancée que la fraction &—: C est alors 1—2 i—1 : à LP la situation de la fraction > qui règle le degré du monôme (1); pour

: > Ë 5 e U; que le monôme (2) soit de degré plus grand, il faut et il suffit que &

: : Us soit avancée dans le Tableau comme ÿ = i—1

mais donne lieu, avec elle, à la réduction exceptionnelle par laquelle l'expression (2) est ramenée à un monôme.

VE at vtt — * sont également avancées. Pour que le =, 11

» et ne lui soit pas contigué,

3° Les fractions degré du monôme (2) soit plus grand que celui du monôme (x), il

faut alors et il suffit que la fraction T soit avancée dans le Tableau 7À

comme chacune des deux autres; de plus, elle doit être plus éloignée

QE Le de la fraction &— : que cette fraction n’est éloignée de ÿ enfin elle i—2

3 i U; doit donner 44 avec TT , à la réduction exceptionnelle par laquelle Lt

l'expression (2) est ramenée à un monôme. Le second point s'établit aisément en comparant, dans chacune des six dispositions que peuvent offrir les trois fractions également avancées, les degrés des monômes (1)

5. Ces résultats nous permettraient d'énoncer maintenant un théorème entièrement analogue à celui du n° 52, mais beaucoup plus compliqué, et dont l’énoncé ne différerait guère de ce qui vient d’être dit. Nous ne le ferons pas et nous nous restreindrons au cas plus particulier auquel on est ramené par la remarque suivante.

Dès que la fraction y nest pas moins avancée, dans le Tableau,

11 " = U°= U; # a que —> les fractions &— et £! y sont également avancées et donnent i—1 \ 11 \ i 7

lieu à la réduction exceptionnelle par laquelle l'expression (2) est ramenée à un monôme. Alors cette même circonstance se présente nécessairement pour deux réduites consécutives quelconques de la frac- {ion continue, dont le rang est au moins égal à à — 1. Mais nous avons établi que toutes les réduites d'une fraction continue simple illimitée sont différentes entre elles, et, d'autre part, le nombre des fractions qui, dans le Tableau, sont également avancées, n’est pas indéfini : donc la fraction continue est nécessairement limitée. Ainsi, si les réduites d’une fraction continue simple illimitée sont des fractions du Tableau, chaque réduite est sûrement plus avancée, dans ce Tableau, que celle qui la précède. C’est ce cas qui va nous occuper maintenant. Voici alors comment doit être modifié le théorème du n° 52.

Pour obtenir une suite de fractions du Tableau (E) telles qu'elles soient les réduites successives d’une frachon continue simple uhmitée, il faut et il suffit qu'elles soient choisies de la façon suivante :

1° La prenuére fraction de la suite devra étre une fraction du bord du Tableau ;

2° Les carrés correspondants à deux fractions consécutives quelconques Li Vin devront toujours étre contigus ; ou bien n'être o LUS V> Ÿ. 7 SUS ; 2 PAS CONUGUS MAS avoir leurs premüères diagonales sur une même droite, les fractions étant. en outre, telles que U;V;,, —U;,, V;se réduise à un monôme ;

3° Une fraction quelconque devra toujours étre plus avancée dans le Tableau que celle qui la précède.

56. De cette proposition se déduit celle-ci dont nous n’avons encore établi qu'un cas particulier :

St les réduites successives d'une fraction continue simple illimitée sont toutes des fractions rationnelles approchées d’une fonction, elles forment nécessairement une suite de fractions rationnelles de plus en plus approchées de la fonction.

En admettant qu'il y ait des fractions continues simples dont toutes P. 9

66 I. PADÉ.

les réduites soient des fractions rationnelles approchées d’une fonction donnée, cette proposition peut aisément s'établir en rapprochant la remarque qui termine le n° 43 de celle du n° 29. Elle metentièrement en évidence la nature des fractions continues simples en tant que for-

mules d'approximation.

57. Occupons-nous maintenant de la recherche des fractions continues régulières illimitées, en supposant le Tableau composé uniquement de fractions normales.

Trois fractions consécutives A, B, C faisant partie d’une suite de fractions correspondant à une fraction continue simple illimitée peuvent offrir une infinité de dispositions différentes (voir ci-contre ).

Nous avons encore écrit au-dessous de chaque fraction C les degrés des éléments & et a de la fraction continue qui correspondent à cette fraction C; cependant, à cause des réductions exceptionnelles qui peuvent se produire entre les fractions de notre Tableau, on ne peut fixer, pour certaines situations de la fraction C, que le degré qu’a l'élément a quand ilne se produit pas de réduction; dans ces cas, nous avons écrit ce degré, mais en le faisant suivre d’un signe moins, pour indiquer que le degré de a peut être plus petit.

Les degrés des éléments & sont tous égaux à un dans le premier et le deuxième Tableau, puis à deux, à quatre, à six, à huit, etc., respectivement dans le troisième, le quatrième, le cinquième, le sixième, etc.

I n’y a maintenant qu'à reprendre le raisonnement déjà fait antérieurement pour obtenir les fractions continues régulières quand, dans le Tableau, ne s’offrait aucune réduction exceptionnelle.

On retrouve d'abord immédiatement, pour les fractions continues régulières où l’élément & est du premier degré, les formes que nous avons appelées & et, suivant que les degrés des éléments a sont tous égaux à un ou tous égaux à zéro. Les dispositions des fractions, dans chacun de ces deux cas, sont celles qui ont déjà été décrites.

Pour les fractions continues où tous les éléments & sont du second degré, les choses se modifient. La considération des dispositions figurées dans le Tableau (3) montre d’abord que si les réduites d’une fraction continue régulière illimitée, où tous les éléments & sont du second degré, sont des fractions de l’ensemble (E), ee sont sûrement

(1) (2) 1È LA a Je 1!

als! | | a| |.

| 65 Je 63 63 ï C 63 L fe C Î =

etc.

68 I. PADÉ.

les fractions successives d’une droite parallèle à la diagonale principale. Mais la réciproque n’est pas vraie. Pour une telle suite de fractions, tous les éléments « seront bien du second degré, mais, à cause de réductions éventuelles possibles, on ne peut affirmer que tous les éléments a seront du premier degré; si quelques-uns étaient des constantes, la fraction ne serait pas régulière. Mais elle se retrouverait régulière, et d’un type que nous n'avons pas encore rencontré, s’il arrivait que tousles éléments a fussent des constantes. Nous sommes ainsi en présence de deux types de fractions continues régulières à numérateurs partiels du second degré; dans le premier 2, déjà obtenu, les dénominateurs partiels sont tous du premier degré; dans le second [2], ils sont tous des constantes, au moins à partir du dénominateur @,, et c’est là la légère extension de la définition des fractions continues régulières dont nous avons déjà parlé (n° 49). Les fractions de la diagonale principale du Tableau relatif à e* donnent naissance à une fraction continue régulière de ce type [2]; c’est l'une des fractions de Lagrange que nous avons citées.

Passons aux fractions continues régulières où l'élément « est du quatrième degré. Les dispositions figurées dans le Tableau (4) montrent que les réduites d’une fraction continue régulière illimitée de cette nature sont des fractions prises de deux en deux sur une parallèle à la diagonale principale du Tableau (E). A une telle suite de fractions ne correspondra pas, en général, une fraction continue régulière; pour qu'il lui en corresponde une, il faudra tout d’abord que deux fractions

consécutives quelconques ne se de la suite soient telles que la D Em À

quantité U;V;,, —U,,,V; se réduise à un monôme; cela étant, tous les eléments « seront du quatrième degré; il faudra, en second lieu, que tous les éléments a, dont chacun peut être des degrés 2, 1, o, aient le même degré. Ainsi se présentent trois types de fractions régulières à numérateurs partiels du quatrième degré. Comme exemple, on peut citer les fractions de rang impair de la diagonale principale du Tableau relatifà e*; la fraction continue correspondante à tous ses numérateurs partiels du quatrième degré, et tous ses dénominateurs partiels du second degré.

Des considérations analogues sont applicables aux fractions régu-

lières où les éléments & sont du sixième degré. Elles correspondent à des fractions du Tableau (E) prises de trois en trois sur une parallèle à la diagonale principale, et conduisent à quatre types nouveaux de fractions continues régulières. On passe ensuite aux fractions continues régulières où les éléments & sont du huitième degré, etc.

58. En résumant ce qui précède, on voit que le nombre des fractions continues régulières illimitées qui peuvent être obtenues au moyen des fractions d’un Tableau (E), uniquement composé de fractions normales, ne peut être fixé en général, et dépend de la nature des fractions du Tableau.

Ces fractions continues peuvent être distinguées en deux classes :

1° Dans la première nous rangerons les fractions continues régulières où tous les numérateurs partiels sont du premier degré. Elle renferme deux types, celui où les dénominateurs partiels sont du premier degré et celui où ils sont des constantes. Le premier est engendré par les fractions d’une file quelconque, soit horizontale, soit verticale du Tableau, le second par une suite de fractions en escalier. Ce sont les seules fractions continues régulières dont l'existence puisse être affirmée a priort; on peut, avec les fractions du Tableau (E), obtenir une infinité de fractions continues de chacun des deux types.

2° La deuxième classe renferme les autres fractions continues régulières possibles. Elles se divisent en familles d’après les degrés des numérateurs partiels. Dans la première famille, les numérateurs partiels sont du second degré; elle renferme deux types caractérisés par les degrés des dénominateurs partiels, qui sont égaux à un dans le premier type, à zéro dans le second. Dans la deuxième famille, les numérateurs partiels sont du quatrième degré; elle renferme trois types caractérisés par les degrés des dénominateurs partiels qui sont égaux à deux dans le premier type, à un dans le second, à zéro dans le troisième. Dans la troisième famille, les numérateurs partiels sont du sixième degré, etc. L'une quelconque de ces fractions continues ne peut être engendrée que par une suite de fractions situées sur une parallèle à la diagonale principale; dans une telle file, elles doivent être prises contiguës pour une fraction de la première famille, de deux en deux pour une fraction de la deuxième famille, de trois en trois pour une

70 II. PADÉ.

fraction de la troisième famille, ete. On ne peut affirmer, & prior, l'existence d'aucune de ces fractions continues régulières. Au moyen des fractions du Tableau, on peut obtenir un nombre illimité de fractions d’un type déterminé, ou un nombre fini, ou enfin on n’en peut obtenir aucune. Le nombre des conditions qui doivent être remplies pour que l’on puisse obtenir une fraction d’un type déterminé croit quand on passe d’une famille à la suivante, et, dans une même famille, quand on passe d’un type au suivant. Le premier type de la première famille se trouve réalisé sans conditions, c’est-à-dire dans le cas général.

59. Nous avons vu (n° 43) que les réduites successives d'une fraction continue simple représentent, avec une approximation de plus en plus grande, une réduite quelconque de rang plus élevé; il n’en résulte pas qu’elles soient des fractions rationnelles approchées d’une même fonction au sens que nous avons donné jusqu'ici à cette locution; on peut même se convaincre, sur les exemples les plus simples, qu’en général elles ne sont pas de telles fractions.

Considérons une fraction continue simple dont toutes les réduites soient des fractions rationnelles approchées d’un même Tableau. Que cette fraction continue soit convergente ou divergente, comme les réduites sont des fractions de plus en plus avancées du Tableau, celui-ci est entièrement défini par la connaissance de la fraction continue (n° 29). On ne sait rien, a priort, sur la convergence ou la diversence des fractions continues simples, en nombre illimité, auxquelles donne naissance ce Tableau; ainsi se conçoit, dans toute sa généralité, un fait dont Laguerre et Halphen (*) ont signalé un cas particulier, à savoir le ças où, à une même fonction, correspondent une série entière divergente et une fraction continue convergente, ou inversement; une série entière n’est, en effet, comme nous lavons vu, qu’une autre forme de la fraction continue d’Euler.

Supposons que l’une des fractions continues du Tableau converge dans le voisinage de l’origine et définisse une fonction de æ holomorphe dans ce voisinage, le Tableau de fractions rationnelles appro-

(1) LAGUERRE, Bulletin de la Société mathématique de France, t. VU, 1879.— HALPHEN, Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. C, 1885.

chées qui correspond à cette fonction, n’est autre que le Tableau considéré. Il ne semble pas aussi aisé de conclure quand la fraction continue ne converge pas dans le voisinage de l’origine, mais dans une autre partie du plan à l’intérieur de laquelle ne se trouve pas l’origine. Quoi qu'il en soit, ce fait si remarquable qu'une fraction continue divergente, en particulier une série entière divergente peuvent {ort bien définir une fonction analytique, semble comporter d’importantes conséquences; on en pourrait tirer, en effet, une justification de l'application des règles ordinaires du calcul des séries entières, dans le cas où celles-ci sont divergentes ; mais c’est là un fait que nous ne faisons qu'indiquer et sur lequel nous aurons l’occasion de revenir

ailleurs.

60. Les fractions continues régulières sont, parmi les fractions continues simples auxquelles donne naissance un Tableau de fractions rationnelles approchées, celles dont il sera, en général, le plus facile d'étudier la convergence.

Considérons, en particulier, la fraction continue d’Euler, celle qui est engendrée par la première file horizontale de fractions du Tableau : tous les polynômes V se réduisent à l’unité, en sorte que l’ensemble (H) se compose de tous les points du plan. La fraction continue converge donc en tous les points intérieurs au cercle de convergence (C) et diverge en tous les points extérieurs ; ceci est conforme au théorème d’Abel sur les séries entières, car le cercle (CG) n’est autre que le cercle de convergence de la série même qui représente la fonction dans le voisinage de l'origine.

Si l’on connait l’expression générale des fractions continues régulières du Tableau qui composent l’un des types de fractions continues régulières, et l'expression générale des dénominateurs de leurs réduites, l'étude de la convergence pour toutes ces fractions continues revient à celle d'une seule série entière et d’un seul polynôme dont les coefticients sont des fonctions de grands nombres. On voit ainst que, en général, ces fractions doivent se diviser en groupes de fractions toutes convergentes ou divergentes en même temps. L'étude de la fonction e* nous donnera bientôt un exemple très simple de ce fait; nous en signalerons ici même un second.

72 H. PADÉ.

Considérons la fonction

I 1 + x 9 Le 50

log: V = g -