MENT

Le Tableau relatif à cette fonction ne comprend que des fractions normales ; considérons les fractions continues régulières de la seconde forme engendrées par les files horizontales de fractions du Tableau. Pour la file de rang g +1, on a, dès que x dépasse q +1,

(2n — 3} À : Es die = T PS | rene (2n+2q—3)(2n +2g —1) ? À 2R+2q —1

An —

on en conclut d’abord que le rayon du cercle de convergence (C) est égal à l'unité. D'autre part, l'expression générale du terme de la suite

V,, V,, ... est, dès que p est au moins égal à g — 1,

NOTE a le qg(q —1) (2p +1)(2p —1) +

bas L2p+2q +1 19e ET ENIC) ee PTT “ | LiCimete al (BP PE UP) DRE ; Ho -0 (2p+2q +1)(2p +2q —1)...(2p +3) ;

et, dans tout le plan, ce terme tend uniformément vers la fonction continue (1 — +)? quand p grandit indéfiniment. La seule racine de cette fonction est x = 1, donc l’ensemble (H) se compose de tous les points du plan hormis le point r. Toutes les fractions continues régulières considérées convergent donc pour tous les points intérieurs au cercle de rayon égal à l’unité ayant son centre à l’origine, et divergent pour tous les points extérieurs; sur le cercle lui-même, l’indécision subsiste.

L'une quelconque de ces fractions continues définissant dans le cercle de convergence une fonction holomorphe (n° 47), cette fonction ne peut différer de

= I x Re Da

Nous ne connaissons pas l'expression générale des termes de la suite U,, U,, U,, ... des numérateurs des réduites ; on voit que ce polynôme

tend, quand p grandit indéfiniment, vers la fonction

(1— x)7 To + Vx or 1—Ve

si æ est intérieur au cercle de convergence, et n'a aucune limite si x est extérieur à ce cercle.

61. Après avoir étudié avec détail les fractions continues simples auxquelles donnent naissance les fractions du Tableau (E), nous montrerons combien les choses se compliquent dès que l’on tente l’étude de fractions continues un peu plus générales.

Considérons l’ensemble des fractions continues dont les numérateurs partiels sont des monômes entiers en æ, à coefficients différents de zéro, et les dénominateurs partiels des polynômes entiers en +, avant un terme constant différent de zéro. Elles ne diffèrent des fractions continues simples qu'en ce que l’exposant des numérateurs partiels n'y est pas supposé différent de zéro; mais cette simple extension a cependant pour conséquence une modification profonde des propriétés de la fraction continue.

Les quantités U,V;,,, — U,,,V;, se réduisent encore chacune à un monôme ayant un coefficient différent de zéro, mais le degré de ce monôme ne croit plus nécessairement quand : augmente, on sait seulement qu’il ne décroit pas.

On ne peut plus affirmer que les polynômes U; et V; aient chacun un terme constant différent de zéro; ils peuvent être divisibles par une même puissance de æ, et, par suite, les réduites de la fraction continue ne sont pas nécessairement des fractions rationnelles irréductibles. Cependant le problème de la recherche d’une fraction continue de cette nature, dont les réduites soient égales à des fractions rationnelles irréductibles données, ne saurait encore admettre qu’une solution.

Parmi toutes ces fractions continues, nous allons ne considérer que ‘celles dont les réduites sont irréductibles ; elles forment un groupe que, pour abréger, nous représenterons par G. Les fractions continues simples en font évidemment partie ; en font aussi partie les fractions

continues dont tous les numérateurs partiels sont des constantes : les P. 10

qi H. PADÉ.

réduites d’une telle fraction sont, en effet, irréductibles, puisque les quantités U,V;,, — U;., V; se réduisent à des constantes.

Nous nous bornerons au cas où, dans notre Tableau, aucun des deux cas exceptionnels mentionnés à la fin du théorème du n° 5lne se présente, et, avec toutes ces hypothèses, nous allons rechercher quelles sont les dispositions de fractions du Tableau (E) qui conduisent à des fractions continues du groupe G.

Pour que des fractions rationnelles irréductibles données

U; U; U; u V Vie — ?

dont deux consécutives quelconques sont inégales soient les réduites successives d’une fraction continue du groupe G, il faut et il suffit :

1° Que toutes les quantités U;V;,, — U,,, V; se réduisent à un monôme dont le degré croisse ou reste constant quand z augmente.

2° Que chacune des expressions U;,V;— U;V;, se réduise à un polynôme ayant pour terme de moindre degré un terme dont le degré soit égal à celui du monôme U; ,V;, — U;, V; 2.

3° Que U,, U;,, V,, V, soient tels que les quantités

(D) CAE Das do

(11) Ai is rs A»

prennent respectivement les formes qu'elles sont assujetties à avoir dans une fraction du groupe G.

Supposons maintenant que les réduites d’une fraction du groupe G soient des fractions du Tableau (E). Soient