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trois réduites consécutives et considérons les trois quantités

(en) DV; rt EVE; (6) UV: ie U; LE, (3) UV; re U; ES

, ON b . nt 4 D'abord, les deux premières se réduisent chacune à un monôme ;

SUR LA REPRÉSENTATION APPROCHÉE D'UNE FONCTION, ETC. p Es

À TU: U;- : LT donc les carrés relatifs à y ty sont contigus, ainsi que ceux re- 12 1 FSU U; LE NE PRET cs Nes V:

ù U;» £ 2 Das Supposons maintenant que y, n6 soit pas plus avancée que &—; TES tal le degré du monôme (2) devant être au moins égal à celui du monôme DR Er ue En (1), y, doit nécessairement être aussi avancée que &—; alors (3) est t —P

rement un polynôme où le degré du terme de moindre degré est al

sû égal à celui du monôme (1).

Si, au contraire, =? LE < è Ve Ness

sidération de l'expression (3), que y doit être rigoureusement aussi : :

est plus avancée que » On voit, par la con-

avancée que Y

à celui de (1).

Nous avons ainsi ce théorème :

» et qu'alors (2) est un monôme dont le degré est égal

Pour obtenir une suite de fractions du Tableau (E) telle que la fraction continue correspondante appartienne au groupe G, 1 faut et il sufjit qu'elles soient choisies de la façon suivante :

1° La premuere fraction de la suite devra être une fraction du bord du Tableau :

2° Trois fractions consécutives quelconques devront toujours étre differentes entre elles ;

3° Les carrés correspondants à deux fractions consécutives quelconques devront toujours être contigus ;

4° Si, en passant d'une frachon À à la suivante B, on ne recule pas dans le Tableau, la fraction suivante C devra étre au moins aussi avancée que À, tandis que, st l’on recule, B et C devront étre également avancées.

Il résulte de ce théorème que si les réduites successives d’une fraction continue du groupe G appartiennent toutes au Tableau (E), elles ne forment pas nécessairement une suite de fractions de plus en plus avancées dans ce Tableau, et, par conséquent, une suite de fractions rationnelles de plus en plus approchées de la fonction. La seule chose que l’on puisse affirmer, c’est qu'une réduite quelconque C est toujours au moins aussi avancée que la moins avancée des deux réduites précédentes A, B. La droite perpendiculaire à la diagonale principale

76 H. PADÉ.

qui correspond à la moins avancée de ces deux fractions est ainsi une droite telle qu'aucune fraction, à partir de A, ne peut, par rapport à elle, se trouver du même côté que le sommet du Tableau.

Cette seule condition n'empêche pas d’obtenir, dans le Tableau, une suite illimitée de fractions satisfaisant à toutes les conditions imposées par l’énoncé du théorème, et dans laquelle figure plusieurs fois une même fraction. Mais il y a plus; cette suite peut ne renfermer qu'un nombre limité de fractions distinctes.

Soient À, B,..., 1, J,..., P,Q des fractions successives, au nombre de », d’une droite perpendiculaire à la diagonale principale ; supposons que les fractions À, B soient contiguës, ainsi que les fractions P, Q. Si deux autres fractions consécutives I, J, de la suite, sont contigués, il y a une troisième fraction, plus avancée que chacune d'elles, qui leur est à la fois contiguë ; si les fractions 1, J ne sont pas contiguës, cette condition peut ne pas être réalisée ; supposons que, pour la suite de fractions considérée, elle soit toujours réalisée. On peut alors adjoindre à cette suite une autre formée de 77 — 1 fractions A’, BOULE INCIP tafracnon \Petant la Traction con teen nie fois à A et à B, et plus avancée que chacune d’elles : B’, la fraction analogue pour B, C, .... Il est alors aisé de démontrer que l’on peut, avec les seules fractions À, B, ..., P, Q et À’, P’ d’une part, et, éventuellement quelques-unes des fractions B', ..., N’ d’autre part, former une suite illimitée de fractions satisfaisant aux trois dernières conditions de l'énoncé du théorème ; comme 1l est toujours aisé de raccorder cette suite à une fraction du bord du Tableau, au moyen d’un nombre limité de fractions, le fait énoncé se trouve mis en évidence.

Réciproquement, supposons que la suite illimitée des réduites d’une fraction continue du groupe G ne comporte qu’un nombre limité de fractions distinctes du Tableau, ces fractions distinctes affectent la disposition que nous venons de décrire.

in particulier, on peut obtenir ainsi des fractions continues dont les réduites, à partr d’un certain rang, forment une suite périodique la fraction continue elle-même est d’ailleurs aussi périodique, mais, si A, B, C, ... désignent les premières fractions de la partie périodique de la suite des réduites, la partie périodique de la fraction continue elle-même ne commencera qu'avec les éléments qui correspondent à C.

SUR LA REPRÉSENTATION APPROCHÉE D'UNE FONCTION, ETC. he

Ces fractions continues offrent. des exemples bien propres à justifier les considérations développées à propos de la définition des fractions continues, en général (n° 40). On peut, en effet, établir que si deux réduites d’une fraction continue sont égales, la fraction partielle qui correspond à la seconde est dénuée de sens ; si donc la suite des réduites est périodique, où même, sans être périodique, si elle ne se compose que d’un certain nombre fini de quantités distinctes qui se reproduisent dans un ordre quelconque, toutes les fractions partielles, à partir d’un certain rang, sont dénuées de sens ; c’est Le cas des fractions que nous venons d'obtenir.

62. Passons maintenant à la recherche des fractions régulières dans un Tableau uniquement composé de fractions normales.

Trois fractions consécutives À, B, C faisant partie d’une suite de fractions correspondant à une fraction continue du groupe G peuvent offrir 31 dispositions différentes que voici :

(1) (3) (5) C ; C F 1 CHAC sil 01 o1 00 | 11 B C A | B i 01 1 COPA A C CAEC 00 Re 00 | o1 JE to | mn (2) (&) (6) | C | port C ie 00 A 10 | | BA 00 Fe 10 | C CHACREC CHACHRC | 01 à o1 | 01 | o1 | n n | n a (2) « CSC 10 | 21 AE CHACHIC 21 212)E71 &. î

Les Tableaux de la seconde ligne sont les symétriques des Tableaux correspondants de la première ligne par rapport à une parallele à la diagonale principale menée par A. On voit que cinq types réguliers

75 I. PADÉ,

sont ici possibles, et correspondront respectivement aux couples de

nombres (0,0), (OM) NUE (HEC) (si)

Aux trois derniers couples correspondent les trois fractions continues simples régulières. Il reste à examiner les couples (o,r)et (0,0) dont il n’a pas été donné jusqu'ici d'exemples, et qui présentent cette particularité que les fractions continues régulières correspondantes ne donnent chacune qu’un nombre limité de fractions du Tableau.

On obtient une fraction continue régulière correspondant au couple (o,1) en prenant toutes les fractions d’une droite perpendiculaire à la diagonale principale.

Quant aux fractions continues régulières correspondant au couple (0, 0), elles sont périodiques et ne fournissent chacune que trois fractions du Tableau; ces fractions sont placées aux sommets d’un triangle rectangle isoscèle dont l’hypoténuse est perpendiculaire à la diagonale principale et le sommet de l’angle droit placé, par rapport à cette hypoténuse, du côté opposé à celui où se trouve le sommet du Tableau. L'une des fractions appartient ainsi, soit à la première file horizontale, soit à la première file verticale du Tableau, et les deux autres, alors, à la deuxième file horizontale dans le premier cas, à la deuxième file verticale, dans le second cas.