IV. — Étude de la fonction exponentielle

63. Nous nous proposons maintenant d'appliquer à la fonction exponentielle les théories qui précèdent.

Voyons d’abord quelle est la nature des fractions qui composent le Tableau relatif à cette fonction. Le déterminant que nous avons appelé AC D es uenCsals

I | I (+1)! P! CO (p+i—gi I ] Ï (p + 2)! (p +1)! (p+2—g)l :

I I I @+g+il (p+g)l (+

où l'on doit supposer — = 1 et — — o pour & négatif. Ce déterminant o! a! 9

se calcule aisément au moyen des transformations usuelles, et l’on trouve METRE À

A4 ! Di fe VO Eng NT à 00 (9 Ego

quantité essentiellement différente de zéro, queiles que soient les valeurs de p et de g. Ainsi :

Le Tableau relatif à e* est uniquement composé de fractions normales.

Au surplus, cette proposition va résulter du calcul même de l’expression générale de ces fractions.

64. Avant de faire ce calcul, nous ferons une remarque sur la manière dont se rattachent l’un à l’autre les Tableaux relatifs aux deux

fonctions y et e

di , Soit ;; la fraction rationnelle qui, pour la fonction y, correspond au

couple (p,g); ona = e + (Tr),

d’où l’on déduit

ee:

RAT LE si DS Les Y Cu (ann

Comme &; nes annule pas pour æ — 0, on voit que g St la fraction

: . Ï qui, pour la fonction e correspond au couple (g,p).

Cette remarque rend compte de la sorte de parallélisme que l’on a pu remarquer entre les propositions des n° 21 et 22, et aussi dans les démonstrations des n°% 15 et 16.

: LAN : k Si l’on suppose y — e*, alors - Cho re est la fraction qui,

pour e*, correspond au couple (p, g), la fraction qui, pour e *, corres-

à V(x) : : DE : x pond au couple (g, p) est Ur et, par suite, la fraction qui, pour e”,

80 H. PADÉ.

correspond à ce couple (9, p) est Te. Ainsi les fractions du Ta-

(—&) bleau relatif à e* se correspondent deux à deux : si l’on considère

l’une quelconque des deux fractions qui correspondent aux couples (p, g) et (g, p), il suffit d'y changer æ en —x et d'échanger Îles termes pour obtenir l’autre; on peut ainsi se borner au caleul d’une partie seulement des fractions du Tableau, par exemple au calcul de celles pour lesquelles on à p2q.

65. Cette remarque permet d'obtenir très aisément la fraction qui correspond au couple (p, g), par la résolution directe des équations en /; ce procédé, appliqué par Heine (") dans un cas fort général, nécessiterait une discussion spéciale plus pénible au cas où p serait plus petit que gq.

Une seconde méthode, non moins simple, reposerait sur cette re-

marque que, la formule Ver = U +(xy;)

donnant (V+HV')er= U+ (xp t), : U' : :

la fraction = est la fraction qui, dans le Tableau, correspond au couple (p— 7, g):1l est ainsi facile de déduire de la fraction qui correspond au couple (p, q) toutes celles du rectangle relatif à ce couple. Or bien des méthodes différentes ont été données pour obtenir les fractions de la diagonale principale du Tableau : M. Hermite, en différentes occasions, en à fait connaitre plusieurs (vor, par exemple, le Cours professé à la Faculté des Sciences); elles s’obtiennent encore en appliquant à e* une formule très générale donnée par M. Darboux dans son beau Mémoire sur le développement en série des fonctions d’une variable (Journal de Liouville, 1876, p. 296). Supposant connue l’expression générale de ces fractions, on en déduirait aisément, d’après ce qui précède, celle de la fraction qui correspond à un couple quelconque ; mais, pour obtenir tous les éléments dont nous avons besoin pour les calculs ultérieurs, nous reprendrons la méthode employée par M. Hermite dans son profond Mémoire Sur la fonction exponentielle (Gau-

(*) Handbuch der Kugelfunctionen, 2° éd., t. I, p. 273.

thier-Villars) dans une question dont celle qui nous occupe ici n’est

qu'un cas fort particulier ; nous nous servirons des notations mêmes de l’illustre géomètre.