Soit F(z) un polynôme en 3 de degré M, et

A (A M - Lee

> Ts aM+1

on vérifie Immédiatement, en prenant les dérivées des deux membres, la formule

fe-=r(s) CN Prenons o et 1 pour limites inférieure et supérieure de l'intégrale, on

obtient Î

D(r)er —D,(xr)—= xMr.ez, [ er? KF(z)dz,

où D'(T)—F(0) 70) 2" Fo), D(x)=F(1) cr) met. Fr).

Soit maintenant (p, qg) le couple pour lequel nous voulons obtenir la fraction rationnelle approchée de e*; les polynômes ®,(x), D(x) seront les termes U, V de cette fraction si nous pouvons choisir F(z) de telle façon que les degrés des polynômes ®, (x) et (x) soient égaux au plus respectivement à p et à g, et qu'en outre M soit au moins égal dpr-Q:

La première de ces conditions donne les équations

FC) =50; (== 0; AA Per) 0

Fo)=9, F'(0o)— 0, FES F0 (0) =—<0;:

pour que le polynôme F(z) y satisfasse, il faut et il suffit que l’on ait FC) 15) ER GG), G(s) désignant un polynôme en s dont le degré est manifestement

égal à p + g — M. Mais M doit être au moins égal à p + q: donc, né- 12 11

82 ‘+ “He PADÉ:

cessairement, M==p=-97,

et G(z) se réduit à une constante que nous prendrons égale à l'unité. Si l’on observe que M — p = get que M — g —p, on a, finalement, les formules F(z)= 3P(3—1)7, U = F+P) (1) + F9+P-0(1)æ +... + F(+0(1)xP1 Ft (1)ær, V = Ft+9) (0) + FPr7-0(0)25 +...-+ Fr (0)x751 + FE) (0) 7, LD - 22 gare fl ere s(e — 1)7 dz.

67. Au moyen de ces formules, nous allons maintenant calculer toutes les fractions continues régulières auxquelles le Tableau donne naissance, et d’abord nous nous occuperons des fractions continues de la première classe.

Ces fractions continues sont celles où, dans la partie régulière, Les numérateurs partiels « sont du premier degré; elles se divisent en deux types, selon que les dénominateurs partiels sont du premier degré ou du degré zéro.

Considérons une fraction du premier type, et soit, pour & > 2,

Ai DL, a=c+cxr.

Pour obtenir une telle fraction, on doit prendre toutes les fractions du Tableau qui sont dans une même file verticale, ou toutes celles qui sont dans une même file horizontale; considérons, par exemple, les fractions de la file horizontale g. Dans l’une ou l’autre des équations

DEAIFERC SE (a mu o'x) UE — U;, pa Vi + (os + SEINE — V;,

remplaçons les polynômes U;,, U;,, U;, ou V;,, V;,, V; par leurs expressions générales déduites des formules du paragraphe précédent en donnant à p successivement les valeurs à — 3, — 2,1 —1, et identifions; on obtient trois équations du premier degré en p, 5, 9’, qui donnent

bill 2), d=T+cr—=g+i—i+ x.

Dans le cas actuel, la fraction est de la seconde forme; on calcule

directement, au moyen des formules du n° 41, les éléments «,, @,, a, &2 de la fraction; on a

= qi

a=gl—(g—1)Tx eg ANT 1)

re (— RACE EE

= GEI ET; ce qui donne, finalement, la fraction continue

q! MM) TTL æ ; 2 3x

YQHI+Z ++ qg+i+tae | q+h+aæ