DC) ET

ou, en rendant égaux à l'unité tous les termes constants des dénominateurs partiels,

(—1)7 æ7F1 Æ D 2% I gi ge (gag Fos) (RS) GE) LT (—1)7x9 ne I - + ...— — 1 + 1 — 5 I + ———- I 1.2 q! 4 +1 q +2 q +3 j—+h Il est très facile, en raison des propriétés établies dans le n° 64, de déduire de là, sans nouveau calcul, la fraction continue dont les réduites successives sont les fractions d’une même file verticale p du Tableau; on a alors une fraction continue de la première forme : ji. Gr GE 22 ae æ LEP PET: (hr) GPS) DE Re) RES) CROP 4) à + + at = + : = : LEE TN DT P! ne si ons a Pp +1 P + 2 P +3 pb +4

Si, dans les deux dernières expressions, on donne à q et à p, sucecssivement, les valeurs o, 1, 2, 3,..., on obtient la totalité des fractions de la première classe qui sont du premier tvpe. Un calcul absolument semblable nous donnerait les fractions de la première classe qui sont du second type; nous ne nous y arrêterons pas et donnerons plus loin, dans le Tableau général, les résultats du caleul.

68. Avant de procéder au calcul des fractions continues régulières

8/4 H. PADÉ.

de la deuxième classe, nous devons d’abord rechercher quelles elles sont: pour cela, suivant la théorie générale, il nous faut trouver les

couples (p, g), (p +h,q+h), où k est un entier positif, tels que, si U; UF — et — ; Ye Vin .

l'expression U,V;,,— DU;,, V;se réduise à un monôme. Notre point de départ sera les formules (n° 66)

sont les fractions qui leur correspondent respectivement,

Sul

NRC El enmneP )TdE,

Ve eT — (Ur — xP +q+2/+1 et: \x GRO ei 17007 GR

d'où l’on déduit

+1 +1 HAS . ue = axP+4+1 [va [ CRM SPE CS et 1) ae AZ = 2e il e-t==lx SP — 1)7 | :

et nous allons calculer les premiers termes du développement suivant les puissances croissantes de x du second membre. Le premier membre étant, au plus, de degré p + q + h, on voit qu’il nous suffit d'obtenir le développement de la seconde intégrale, multipliée par V;,,.

Or, en développant e °°* suivant les puissances croissantes de +, multipliant chaque terme de la série par 5?(z — 1)" et en se rappelant que

1 a | ï 3P(3 — 1) dz — enr 07 ; “0 (DEEE PI) UPDE TEEN)

on obtient, en intégrant terme à terme,

ec D? zP(z —1)1 ds Lu (Dre "sa Li q +1 æ (g+1)(q +0) ee x (pr) (pe) r (pig) PART AN Ch GENE Ne ; d'autre part, on a Vin=(qg+p+2h)l— (9 +p+0h rie +(g+p+o2h > TO SEE

on en conclut que les trois premiers coefficients du développement de

U;V,,, — U,,,V; sont, à des facteurs différents de zéro près,

q+h JET INR HA , : esprees (ie pE2h), / / ) FÉEUE :

(TR) (ge 1) Pres aie p+2h—:)

(Tru) (TER) (p+g+2)(p+g+3)

Le premier de ces coefficients est, comme nous le savions & priort, différent de zéro. Pour que U,V;,, — U,,, V; se réduise à un monôme, il faut donc, tout d’abord, que le second s’annule; or on le met immédiatement sous la forme

(rente) (gen (EEE) pq

il est nul pour À — 7, quels que soient p et 3 il n’est nul que pour cette valeur tant que l’on n’a pas p — qg. Ainsi, pour deux couples tels que (p,g), (p+1,g +1), l'expression U,V,,, — U,,, V, se réduit à un monôme. Nous aurons ainsi à calculer les fractions continues simples dont les réduites sont des fractions consécutives prises sur une file parallèle à la diagonale principale; celles de ces fractions qui seront régulières constitueront les fractions de la première famille; elles pourront, d’ailleurs, appartenir à l’un ou à l'autre des deux types que comprend cette famille.

Quand p — g, le coefficient précédent s'annule quel que soit k; faisons alors p — q dans le troisième coefficient, il devient simplement

et ne s’annule que pour — 2. Ainsi l'expression U,V;,, — U,,, V; se réduit encore à un monôme pour tous les couples tels que (p, p), (p + 2,p+2). Nous avons donc à calculer les deux fractions continues simples qui ont pour réduites les fractions de la diagonale principale prises de deux en deux à partir de la première; si elles sont régulières, la seconde famille se composera de ces deux fractions qui pourront d’ailleurs appartenir à l’un quelconque des trois types de cette famille. Telles sont les fractions qui nous restent à calculer. Ee 12

Gr 0e D] LAN) CIM ND)

. SC CMINO RE)

D FORT tp ag on Pat I I [ +2 I I < pb p(1 —) RE T " GHD)OED) G+be+D T EFDe+b COS DE ED) I Pc æ(c+b) de æ(1— D) 145 +51 —)

I lt 1 1 I id ic I = : RE br (Hd) +d) +: GEdée+d : (g+d)(c+d) : (6+d)Gi+d) : MSC X x

die æ(T+d) 7e æ(1+ d) Te od@ auarrnag fur C+h CD 1 + D D fe I nl I ul “el Er Re I D ee. GA Et D Len Œ : PP) A Ge (UV = b)(£ APCE here D) (cs Eb)(i+b) iQ + b) Ù I GAL AG se 1+DT +1 —) ÿ+d £ + d . tc+d 1+ d = = à al ee!

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+7 V SAAÏILVIAU SAUAlINIOAU SAANILNO) SNOILOVUA