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09 Il. PADÉ.
69. Ce calcul s'effectue sans difficultés en suivant la méthode que nous avons déjà indiquée. On trouve qu'il y a une infinité de fractions de la première famille; parmi ces fractions une infinité appartiennent au premier tvpe, à savoir toutes celles qui commencent par une fraction du bord du Tableau autre que celle qui correspond au couple (0, 6): deux seulement appartiennent au second tvpe, celles qui commencent par cette fraction. Enfin les deux fractions continues simples, qui seules peuvent être des fractions continues régulières appartenant à la seconde famille, sont effectivement régulières et appartiennent l’une et l’autre au premier type de cette famille.
Nous donnons ei-dessus le Tableau complet des résultats.
70. Quelques-unes seulement de ces fractions continues semblent avoir été obtenues jusqu'ici, et cela par des méthodes très différentes.
Si l’on fait g — o dans (2), on obtient la fraction continue d’Euler relative à la fonction e* (n° 36).
La fraction continue donnée par Gauss (!) pour la série hypergéométrique F(x,$,y.æ) est, parmi les fractions continues régulières relatives à cette fonction, celle de la première elasse et du second type qui a pour réduite initiale la fraction correspondant au couple (0,0). Comme cas limite de cette fraction continue, il est aisé de déduire celle relative à e* donnée par la formule (4) quand on fait 9 — 0. La formule se trouve dans le Mémoire même de Gauss; mais on y trouve encore ces relations
— TU LÉ T ee lim (1, #0, ) ist Him E pe À
= . k, 1 x—= k / æ GER Es ee ge Spa © lim F( 1, 4, 8,2 RUE J Dee k
d'où 11 eût pu, par la même méthode, déduire immédiatement toutes les fractions continues données par la formule (3).
C'est à Lagrange (?) que sont dues les trois autres fractions eontinues connues: elles s’obtiennent en faisant p —=o dans (3), p—1
(1) Disquisitiones generales, ete. (Œuvres, t. II, p. 123, $$ 5, 12, 13 et 14). (2) Sur l'usage des fractions continues, etc. (OEuvres, t. IV, p. 3or, $$ 7-18).
dans (5), et la dernière est la fraction (7) elle-même. C’est au moyen de l'identité
que le grand géomètre déduit de la première de ces trois fractions les deux autres. On aperçoit immédiatement comment cette identité permet de déduire d’une fraction continue simple dont un dénominateur partiel est égal à l’unité une autre fraction continue également simple, ayant toutes les réduites de la première, sauf une qui se trouve supprimée, à savoir celle qui, dans la première fraction continue, correspond au quotient incomplet qui précède celui qui est égal à l’unité.
Cette simple remarque permet de déduire toutes les fractions continues régulières de la deuxième classe (5), (6), (7), (8), (9), (10) que nous avons obtenues des seules fractions (3) et (4) de la première classe.
Considérons la fraction (3) et par l'application répétée de l'identité de Lagrange faisons disparaitre les réduites de rang pair, on obtient la fraction (5); de même de (4) se déduit (6); il suffit de supposer p = 0 dans (5) et g = 0 dans (6) pour obtenir les fractions (7)et(8 ); les dénominateurs partiels de ces fractions étant égaux à l'unité, l'identité devient de nouveau applicable, et, en faisant encore disparaître toutes les réduites de rang pair, on obtient les fractions (9) et (10).
Sur le Tableau des fractions rationnelles approchées de e*, on aperçoit bien à quoi reviennent ces opérations; la fraction (3), par exemple, à pour réduites une suite de fractions en escalier, celles relatives aux couples
(20) (DEL Oo) CPE UD et) UP ES 2) IDÉES, 2):
supprimer les réduites de rang pair au moyen de l'identité de Lagrange, c’est obtenir la fraction continue qui à pour réduites les fractions cor respondant aux couples
(DO EE a), tp; 2) (pr 55),
c’est-à-dire les fractions d’une file parallèle à la diagonale principale du Tableau; on a ainsi une fraction continue de la deuxième classe et P. 13
O0 H. PADÉ.
de la première famille. On voit de même que les fractions (9) et (10) ont pour réduites les fractions de la diagonale principale du Tableau prises de deux en deux à partir de la première, et qu’elles sont des fractions de la deuxième famille.
71. La convergence de toutes ces fractions continues régulières s'établit aisément. Le numérateur de la fraction rationnelle approchée de ef, relative au couple (p,gq), est, quand on divise les deux termes de cette fraction (n° 66) par (p +gq)!,
p+gs (p+p(p+q- Dre DICDENN)PPRP EN FE D PE) Er EM CE Dh
etil est facile de voir ce que devient ce polynôme dans chacun des trois cas suivants : 1° lorsque, g restant inférieur à un nombre positif fixe À, p grandit indéfiniment; 2° lorsque p et g grandissent indéfiniment, mais de telle sorte que la valeur absolue de la différence p — q reste inférieure à un nombre positif fixe A; 3° lorsque, p restant inférieur à un nombre positif fixe À, g grandit indéfiniment. Le numérateur des réduites successives d’une fraction continue régulière quelconque rentre nécessairement dans l’un ou l’autre de ces trois cas.
Dans le troisième cas, le nombre des termes du polynôme restant fini, et chacun de ces termes, sauf le premier, avant pour limite zéro, il est évident que le polynôme a une limite égale à ce premier terme, à l'unité par conséquent.
Dans le premier et le second cas, au contraire, le nombre des termes du polynôme grandit indéfiniment; son étude ne présente aucune dif-
à : aus D'ANUL De 2 SES ficulté et se fait comme celle de (: — =) quand » grandit indéfini- :
ment par des valeurs entières positives.
Observons d'abord que, X désignant un nombre positif supérieur à
æ|, les modules des termes du polynôme sont au plus égaux aux
termes de même rang de la série à termes positifs convergente
I 1e ADS
SUR LA REPRÉSENTATION APPROCHÉE D'UNE FONCTION, ETC. j1 si donc, , étant un nombre positif donné quelconque, on choisit l'entier positif # de telle sorte que la somme de la série
Xé+1 XA+2 os CT) È 12e (Ae2) É
soit plus petite que :> la somme 7; des termes du polynôme qui suivent
j ; : 75 + € . s le terme en x“ aura assurément un module inférieur à 35 de même aussi les restes R,°, R°° des séries
CRES LE K, o | 8 D —<
æ 2 ra 24 md D 1e; DE EE à I 1-2 I 12)
limitées aux termes en x’.
Supposons-nous maintenant placé dans le premier cas, celui où p seul grandit indéfiniment. Le terme général du polynôme est
2 DIT ls UE p—h+i1 æ' PEYP+ÆG—-LpÆEg—2 p+q—h+r 12...h
et l'identité p —t SAN q P+g—i. p+gq—ti
montre que ce terme général a une limite, égale à
name me
on peut done prendre p suffisamment grand pour que la différence entre la somme s, des # + 1 premiers termes du polynôme et la somme Si des Æ + 1 premiers termes du développement de e* soit et reste plus
+ € ro A petite que 3; en désignant par P le polynôme, on a alors
Lex—P|=)|SP +R — sr,
SE —s;|+ RE |+ ir; <e, ce qui démontre que P a une limite et que cette limite est e”.
Dans le second cas, l'identité
P—t I p—q—ti
O2 I. PADÉ.
montre que le terme général du polynôme a une limite égale à up
et le raisonnement se fait comme précédemment, en remplaçant e”,
7 3 ls
SD DAT e?, S$, R?. Le polynôme P a alors une limite égale à e?.
72. Considérons maintenant la fraction continue régulière (1); elle a pour réduites les fractions rationnelles qui, dans le Tableau relatif à e*, composent la file verticale p; il en résulte que la suite des numérateurs de ces réduites tend vers une limite, l’unité. La suite des dénominateurs se déduit de la suite des numérateurs des fractions qui composent la file horizontale p par le simple changement de x en — x (n° 64); cette suite a done aussi une limite, e*. La fraction continue
. . Il D est done convergente et a pour limite == — e7.
æ “ve Z N z e a “1 e- 2 FD
On verrait de même que la fraction continue (2) est convergente et
+ ei ; à : : -
a pour limite — —e’; enfin que chacune des autres fractions (3)-(r0) srne e? e
est aussi convergente et a pour limite — = €; donc :
