Cela posé, reprenons

i2 = 2AN/P/4-to/.

Appelons a/ [i = 1,2, ..., 1 4-^r(N)] et ^y[y = i, 2, ..., ^'(^-H N —«)] les coefficients du polynôme à trois variables F de degré N et les coefficients du polynôme à deux variables w de degré 5-hN — /i. Dans ^, ai est le coefficient d'une expression de degré 5 4- N telle que

Bx^j? provenant de rVji/. Appelons 9a[A = i, 2, . . ., ^'(^ H-N)] les arguments (26) successifs d'un polynôme de degré 5 h- N à deux variables. Le terme en «/ dans 12 sera

Les dik sont des fonctions linéaires et homogènes des coefficients du polynôme k^^i et du polynôme P/ séparément.

CHAP. 11. — CALCt'L DU NOMBRE Ki. 0."]

Pareilleraeni dans 12 le terme en b^ sera

ejic est formé par les coefficients des polynômes w et /, comme du;, est formé par les coefficients des polynômes A.n/ el P/. Bref

il = ^aiXi -r-^bj \S\^j = 22 Oidik^k

J=l, 2, ..., ^(.V-hN — /i) |.

L'évanouissement identique de Î2 entraîne les ^ (5 -h N) équations c^:=:o, mais elles ne sont pas toutes distinctes. D'ailleurs [formules (o) et (i) du 26]

']/{s -f- N — 71) = ^{s -+- N) + vp(— n)— ns — /iN — i, ^(5 -t- N) — ^(5 -h N — 7i) tn /^5 4- TiN + I — v^/i — 3).

Je ferai maintenant voir que le polynôme i2, loin d'être le plus général de son degré, satisfait au contraire, à cause de sa provenance, à plusieurs sujétions, lesquelles facilitent l'annulation identique de 12.

28. Reprenons les polynômes P/ (2i), dénominateurs successifs de z. Ils s'évanouissent tous aux points doubles apparents; de plus, C, étant un cycle issu d'un point multiple, on a évidemment, en vertu des raisonnements faits au2^f,

IC, P/| = |C„Po| = a„

en désignant par ^i l'ordre commun des polynômes P/ par rapport au cycle. Donc

puisque

car le cycle C/ est situé sur la courbe g, C, coupe ainsi la courbe 12 = o en 3/ points confondus avec le point multiple, origine de C/. 11 y a donc

poinls d'inlersection des courbes ^' et i2 = o confondus au point multiple considéré.

Les courbes Po = o et ^ se coupent :

1° En à points doubles apparents, points doubles de g dont chacun figure pour deux dans la supputation des ns intersections;

2"^ En 23 points, réunis par 3 aux points multiples, la sommation 2

s'étendant aux divers points multiples;

30 En

ns — 2^ — 23

autres points, lesquels avec les ô points doubles apparents constituent un groupe que je nommerai groupe A.

Comme, en un point du groupe A, z n'est ni nul ni infini et que

. Pi P« P/

la courbe P/=:o et aussi la courbe 12 = passent par les points du groupe A, dont le nombre est

\) =: ns — ô — 23.

Appelons

les 4^(5-t-N)[A' = I, 2, ..., 4^(5-t-N)] (27) arguments d'un polynôme de degré 54-N à deux variables, arguments calculés respectivement pour les D points du groupe A.

Cette notation nous sera utile plus loin (30).

Retenons surtout de la présente discussion : 1° que 12 = coupe le cycle C4 en 3, points confondus à l'origine du cycle et 2° passe par les D points du groupe A.

29. Examinons ce qui résulte pour £2 de la présence des points multiples.

CHAP. II. — CALCUL DU TIOMBRE ^î,. 29

Soil

[A- = i, 2, ..., ^(,ç-t-N)], H^^Aa-^a- ou H(j-, r)

un polynôme quelconque de degré sh- N.

Développons-le par rapport à un cycle C,

il viendra

H[ j7o -i- ^'', /o -H Y3 (0] = Ho -f- U, / -^ H,/« -h. . .;

se donner le nombre

c'est écrire les ^i relations

Ho = Hj = . . . r= H:^.i = o,

c'est-à-dire assujettir les hu à 3/ relations linéaires et homogènes

^y^^hk — O [/>=II, 2, ..., 3;].

Les Vp^k sont les mômes quel que soil le polynôme H de degré s -\- N. Si Ton se donne tous les nombres

pour les divers cycles issus d'un point multiple, on établit entre les hk les ;2l = 2]'^* relations

De môme pour un second point multiple on aura le système

et ainsi de suite, soit en tout :?l-+- ;2l'-h. . .= 23 relations, 1 élant la sommation appliquée aux différents points multiples.

Il est évident, d'après ce qui précède (28), que le polynôme de

degré.çH-N(27)

satisfait aux conditions précédentes, ainsi que chacun des polynômes Xi et iHiy. Comme (27)

^ ^/»A ^A = ^ ^'pk ^ik = ^ <?yA ^7>A ^=^ <^'

il viendra

Cette remarque nous servira plus loin (30).

30. L'annulation identique de S2 entraine le système Sde 4'(^-+- N) équations C;t=io [A = i, 2, ..., ^j>(.v-hN)]. S est équivalent au système S'

^l^qkCk = [7='» '^ •••» 'K'^-^^')]»

pourvu que le déterminant fx des jjl^a soit ^o. Formons la malrice à vp(.ç 4- N) colonnes età D h- 23 = /^.v— ô(28)

lignes

Dans la malrice Oft

1) = /?.v — — i vl

CHAP. 11. — CALCUL DU N03IBRK .)b. 3l

est le nombre des points du groupe A (28); les (pi'"' ont la signification expliquée au n** 28 (in fine); les X, X', ... ont le sens indiqué au n*» 20. La matrice a D-f-23 = /is — à lignes, mais plusieurs lignes (parmi celles qui sont en X, X', ...) peuvent être à élémenls tous nuls; ensuite, ces lignes une fois biffées, la matrice restante peut avoir tous ses déterminants, à [^(^h-N)]* éléments, nuls, ce qui entraînera chaque fois une môme relation linéaire et homogène entre les éléments d'une colonne quelconque et réduira encore le nombre de lignes.dans la matrice.

Bref, on formera une matrice réduite OlLo dont les déterminants ne seront pas tous nuls, mais qui ne contiendra plus que

ns — — w

lignes. L'entier, non négatif, cj dépendra à la fois des (p'^"\ c'esl-à-dire de la configuration du groupe A, et des X, c'est-à-dire des coefficients des cycles, ou encore des modules de la courbe G.

31. Maintenant nous pouvons former le système Z' (30) en prenant les éléments de la matrice dXL^ pour constituer les

ns — rî — GT

premières lignes du tableau des [i.qk\ ics

^ (.ç 4- N ) — /^5 -h H- GT

lignes suivantes étant constituées par des quantités quelconques, choisies de façon que le déterminant fx des [Lgk soit fz^o. Or (28)

= 2 «' 2 rfa?r ' + 2^2 «.*?"" = o.

indépendamment des ai et ^y, puisque les courbes (27)

^Ao/ 1= 2 dik ©A = o, \\\^j — ^ ejk 9a- — o

passent par tous les points du groupe A.

Il en est de même pour la rclalion

« it i k

car les courbes c.l.,=:o et iii>y = o satisfont aux relations du n*» 29.

32. En résumé, les ns — à — m premières équations du système S' sont des identités et n'entraînent aucune sujétion mutuelle de la courbe G et de la surface ^. Les

']> (5 + N ) — /^.ç + 4- GT

équations suivantes du système 3J contiennent les coefficients a, de la surface S et aussi les ^'(^H-N — /i) quantités fty, coefficients du polynôme o) (25). Eliminons les fty, il restera

d/(,vH- N) — vj;(5 4-N — /O — 'W-h â-h W

relations entre les a^. Le fait géométrique, savoir que la surface S passe par la courbe (i, est ainsi exprimé par

relations entre les coefficients de £, On a vu (27) que

Alors s disparaît (comme il fallait s'y attendre, car le degrés du polynôme Po est indéterminé au-dessus d'une certaine limite) et il reste

Ob = /< N -h I — ^]> ( /i — 3 ) -+- â -h CT.

Introduisons le genre commun /? de G et de sa projection g; on aura

y;z='|(/i-3)-a-li:,

car chaque point double apparent réduit le genre d'une unité. La sommation ^ comprend les divers points multiples, dont chacun réduit le genre du nombre 4^.

Bref