b = 2 /l (N -H I ) — A — lA -h 2Gy

33. Il reste à rappeler comment on calcule le nombre 1^ et A pour chaque point multiple m, origine, avec notre terminologie ordinaire, de M cycles C/ [i = i, 2, . . ., M], d'ordre /?/ respectivement.

Occupons-nous d'abord de l'entier tH. qui mesure l'abaissement de classe produit par le point multiple. Si chaque cycle d abaisse la

classe deti\| unités,.*^ — ^/R./, carc'R est le nombre des points, absorbés

par le point multiple, communs à la courbe g avec le réseau des premières polaires. Halphen enseigne à calculer A{ (Appendice au Traité de Salmoiij p. 645). Prenons pour origine le point multiple, pour axe des a* la tangente au cycle C/. Alors, si/(j7, y) m o est l'équation de 5',

n àf

Or, avec notre écriture habituelle,

W se rapportant aux déterminations de y qui ne s'évanouissent pas pour X =10. F^e môme calcul qu'au n" 13 montre que

^"^(^j Jiv)?^^ potir J7 — o. Nous pouvons ainsi calculer l'ordre en x Univ. dk Lyon. — Autonne, Courbes. 3

des différences yij — yvr de Texpression ( ;p ) 'Le calcul de cU,

ne présente plus dès lors aucune difficulté.

Ce qu'il importe de retenir c'est que, pour évaluerai, on n'a besoin de connaître qu'un nombre fini des premiers termes dans les développements en série» afférents à chaque point multiple.

34. Occupons-nous du nombre J^ qui mesure l'abaissement du genre produit par le point multiple. Halphen {Appendice^ etc., p. 624, formule a8) a démontré la relation que j'écris, avec mes notations accoutumées, ainsi qu'il suit

Or (32)

A=:/«(/i — I)— 20 — Ic'a

d'où, éliminant A, '^{n — 3)— } (/* — i)(a* — 2),

/> =z 0/(71 - 3) - a - 1 ijc^l -^{n,- i){.

Mais (32)

yt; = ^(/i-3)~d~i-C; enfin

^=îj^'^-2('*^-')j-

Il suffit donc encore de connaître les développements en série.

35. On peut donner du nombre m qui figure dans la formule (32)

Ob r= /iN H- I —p — 2^ -h CT

une interprétation géométrique simple.

Reprenons (28) les sn points /=Po = o« Ce sont les

points du groupe A, puis, en un point multiple, 3 points, savoir -3,points sur chacun des cycles C^ de ^',/==o, issus du point multiple.

CIIAP. II. — CALCUL DU NOMBBE ùl>, 35

Prenons une courbe quelconque de degré ^ -h N, qui sera, avec les notations du n° 27,

o = Q— ^^itcpA-, A- = i, a, ..., '|(.ç-f-N).

Faisons passer Q=o par les points du groupe A, au nombre del) (28); il. viendra

o=^qk9T^ [miizi, 2, ..., D].

l)*aulre pari, les relations (29)

expriment que

|C,, Ql^.'fl,,

c'est-à-dire que Q ~o passe par les Ai points communs au cycle C/ de ^ avec la courbe Po=:o.

Cela posé, formons (30) les matrices D\i et OILo, celte dernière à

ns — ô — GT

lignes. La condition de passer par les .ç^ points /= Po = o équivaut donc pour les coefficients de Q à ns — S — ts relations linéaires, bomogènes distinctes.

Supposons que Tensemble des courbes de degré 54- N qui passent par les. ç/i points Po=/ = o soit (/i — i)"P'«'"®"' infini. Il restera dans Q h coefficienls arbitraires; donc

h = 'i{s -^^) — ns-hd -hm,

r/est le résultat annoncé dans l'Introduction.

36. Lorsque Ton possède la courbe G, on a aussi ^ et Ton peut calculer exactement rn et X. Mais si Ton ne possède que /i, p, avec les singularités, c'est-à-dire les développements en série afférents à chaque point multiple, on ne peut obtenir exactement cj. Tout ce que

COtRBBS GAUCHES ALGÉBRIQUES, ETC.

Ton peut alors affirmer sur Oo, c'est que Ob est compris entre

une limite supérieure «N 4-1,

une limite inférieure /iN -+- 1 — /? — Sa.

A peine est-il besoin de rappeler que rien ne change à la théorie si les ns points Poi=:/=o ont des configurations particulières; si des points du groupe A, par exemple, viennent en des points multiples, les 3 seraient plus grands, voilà tout.

37. Dans un Mémoire qui doit incessamment paraître dans le Journal de l'École Polytechnique, je donne pour Ob une autre formule, dans le cas particulier où (îr est une de ces courbes que j*ai appelées intégrantes et qui ont toutes leurs tangentes situées sur un certain complexe linéaire capital.

Prenons -î(^i, ^j, ^j, 5t) = o avec pjzzz——, pour équation de la surface i en coordonnées homogènes et posons

fh

Pi

Pf

Pi

Supposons qu'en un de ses points multiples, m, G perce en ^H points, confondus avec m, la surface 0=0, alors

/iN=:A-4-i;a\

2 s'étendant aux divers points multiples de l'intégrante G. On a d'ailleurs toujours