On peut, sans changer la courbe G
remplacer les polynômes Pq et Pi par deux autres quelconques, par exemple Pi et P',, poui*vu que l'expression
PoP;-PiP;
soit divisible par/. Il y a ainsi, dans le choix des polynômes, numérateur et dénominateur de Zy un certain arbitraire, dont il s'agit de faire l'évaluation. Je vais chercher à quelles conditions doit satisfaire un polynôme Po(.^, y) pour pouvoir servir de dénominateur à 5.
h. Considérons deux variables x et 7, liées par réquation/(j:,7)=o, de la courbe g. Une fonction algébrique w de la variable x est identique à une fonction rationnelle de x et de 7. Je vais déflnir les cas où w est un polynôme en x et 7.
Soit //i(^o»7o) un point de g\ la fonction algébrique 7 aux abords de m est représentée par les diverses équations (o) du 1
y — y\~yih « = 1,2,..., M,
X — x^-=. ^i\ y =1 o, 1,2, . . . , ni — 1 ; la fonction w est représentée par les équations correspondantes
obtenues en remplaçant dans la fraclion rationnelle en .r et/, identique à w^
X par Xo -H ^î*',
r par y^-^yir
S'il existe un développemenl holomorphe à deux arguments tel que
alors on dit que w a, au point m, le caractère d* une fonction entière de x et de y.
D'un théorème de M. Nœther, cité par Halphen {Classification, etc., p. 22), résulte ceci : « Pour que w soit effectivement un polynôme en X et 7, il faut et il sufQt que w possède, en tous les points de la courbe g^ le caractère d'une fonction entière. »
Ainsi pour qu'un polynôme Po(^, y) puisse servir de dénominateur (3) à 5, il suffit d'exprimer que le produit w=:V^z a, en tout point de la courbe g, le caractère d'une fonction entière de x et de y. Ce sera alors effectivement un polynôme Pi(»r, y) et s = Pj : Pq.
5. Tout se réduit ainsi à construire pour le point m le développement holomorphe ci-dessus {k) à deux indéterminées
Je ferai un fréquent usage de développements holomorphes, supposés, bien entendu, convergents pour des modules assez petits des variables. Il est à peine besoin de rappeler que dans le calcul on traite ces développements holomorphes comme de simples polynômes, moyennant certaines précautions bien connues.
Voici maintenant une notion importante, due aussi à Halphen.
Soit Q(»r, ^) un polynôme. Considérons le cycle C/ de la courbe^, ayant le point m(j?o» /o) pour origine, et défini par les équations {voir 1 et k)
Le développement
contiendra en facteur une puissance entière de ^/, dont l'exposant p/, indépendant de l'indice y, sera Vordre du polynôme Q par rapport au cycle C/. Je désignerai l'entier positif p/ par le symbole
la première lettre entre les barres verticales désignant le cycle et la lettre de droite par rapport ù la virgule dosignanl le polynôme.
CHÀP. I. — REPRÉSENTATION DES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES. Il
Rien n'est à changer dans la définition précédente si Q est un développement holomorphe en x — Xq et/ — y^.
Si Q est un polynôme, la courbe Q=o coupe le cycle C/ à Torigine m du cycle en
|C/,Q| points confondus.
Reprenons (4) le produit sv^=zV^z\ si le développement 5/y [1, formules (o)] débute par une puissance ut de ^/, l'entier positif c7/ sera indépendant de l'indice y; on pourra parler aussi de l'ordre de z par rapport au cycle Ci et poser
De plus
ICf^l^lCôPoi-Hic,,^!.
Ainsi « pour rendre |C|> iv\ aussi grand que Ton voudra, il suffit de prendre |C/, Po| assez grand ».
6. Avant de passer à la construction du développement holomorphe û(tt, v) (5 et k), je vais résoudre un problème préliminaire simple. Soient^ et p
y-fl{t) = ^a,st% l'=:x,
p = is(t)==^^bst', 5 = 0, I, . . ., r — I,
asy bg holomorphes en Xy
deux fonctions de a? à r déterminations et s*évanouissant avec x.
Appelons
yi~ri{tO^) et pi = m{tB')
[/r=o, I, ..., r — i; 0z= racine primitive z'^"*'' de Tunité]
les /• déterminations.
Je vais construire un polynôme %{x, u) en w, à coefficienis holomorphes en Xy et une fonclion holomorphe D(^), telle que
A cet effet, par simple multiplication et sous le bénéfice de /' =r r,
je forme les r — i identités, m~i,2, ...,r — i,
yr^^a„„{tQ'y,
entre lesquelles et
Pf^^^bsite^y
j*éliniinc les r — i quanlités {lO^Yf s = i, 2, . . ., r — 1. Il viendra ainsi Tidentité
rt'-l
yi «r-1,0 «r-1,1 «r-i,l
Pi — ^0 ^1 ^1
Si donc le déterminant
n*est pas =0, le développement du déterminant A fournil
(/?/ — ôo) D ( J?) H- R(a7, j/) ~ o
et il suffit de prendre pour S l'expression de la forme voulue
Cherchons si D peut être identiquement nul.
7. Les r fonctions yi sont racines de Téquation algébrique Y de degré r en w à coefficients holomorphes en x
^{Xy w)=: I I (a — j/) = f/' -h Al m'*"* -h. . . = 0.
Lbmme. — Il n'y a aucune racine commune avec une autre équation Y' de même forme
Si, en effet, yo, par exemple, est racine de Y', faisons faire à la variable x dans son plan le tour de l'origine; les coefficients de Y' ne changent pas tandis que jo se transforme en /,; r, esl donc racine de Y', et ainsi de suilo. Y et Y' auraient les mêmes racines; mais les
CnAP. 1. — REPRÉSENTATION! DES GOURRES GAUCHES ALGÉBRIQUES. l3
coefficients sont de part et d'autre, pour Y et Y', les mêmes fonctions symétriques des racines : donc A\ = A,, AJ = Aj, . . . . c. q. f. d. Cela posé, considérons le système
2«m*(^^0*==/r — «mo, mm, 2, 3, ..., r — I
jr = l
de r — I équations linéaires par rapport aux r — i inconnues {t0^y\ D(j?) est précisément le déterminant des inconnues. Le système ne peut être incompatible; si donc D(j7) =o, le système doit être indéterminé; il existe alors, entre les seconds membres, au moins une relation linéaire et homogène, j/ est racine d'une équation
à coefflcients holomorphes et un au moins des B n'est pas identiquement nul. yi est alors racine aussi de l'équation
9( J7, m) H- ^{jOf W )=: a''4-(Ai4- Bi)w'"~*4-. . . = o,
laquelle, en vertu du lemme, doit se confondre avec Y; alors Bi= o, Bj = o, . , ., ce qui est absurde. Ainsi D(a:)^o. En résumé, on a la proposition suivante : a Soient y eip
y = n(t) = ^aut' et p = xs(t)~^bst^
[a„ 6,= holomorphes en j:; f'^^x; .? = o, i, . . ., r — i]
deux fonctions d'j?, nulles avec ût, possédant r déterminations correspondantes // et />/, / = o, I , . . . , r — I ; il existe un polynôme S ( ^, u) en «, à coefficients holomorphes en j:, et une fonction holomorphe D(a?), tels que l'expression
devient identique à/>/, quand on y remplace l'indéterminée u par //, et cela pour chacun des indices / = o, i, . . ., /• — i. »
Il est important pour la suite (15) de remarquer que les coefficients du polynôme S en a sont linéaires et homogènes par rapport aux bg.
8. Je passe maintenant à la recherche des conditions auxquelles doit satisfaire un polynôme Po( x^, y) pour pouvoir servir de dénominateur à z {\). Le produit ivi=z V^z doit avoir en tout point de la
l4 COUHBBS GAUCHB8 ALGÉBRIQUES, ETC.
courbe plane gy perspective de G, le caractère de fonction entière {h"). Soit m (^o> /o) un point de g y origine de M cycles Q représentés par les équations (o) du 1, savoir
X'-x^ — e\\ y-^y^ — yij,
11 faut et il suffît (5) qu'il existe un développement liolomorphe à deux arguments ^{uy s^) tel que
le développement wij correspondant à j/y.
9. Pour simplifier récriture je transporte l'origine des coordonnées au point mo(a"o, /o» ^o) de G dont le point m(j7o, ^o) de g est la perspective. Alors XQ=i y^=: Zçi^=z o.
Les équations (o) du 1 deviennent
^ == C; Y =yij = M^i^ih - = 5,y = Ç,(^^);
s=:o, I, . . ., /i, — i; y = o, I, 2, .. ., Wi — i;
Le développement de Po correspondant à j/y sera
et iï'/y devient
»'ij^^^is{ii^iy^^ijçu'
On voit que les fonctions dis sont linéaires et homogènes par rapport aux fonctions c/, du développement Çij,
