Tout cela posé, je prends l'expression

11 (/iv-ro)

«, Tz^j: I, 2, . . ., M; jyj'—Oy 1,2, . . ., Tl, — I

CHÀP. I. — REPRÉSENTATION DES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES. l5

OÙ le symbole I I désigne un produit où manque le facteur en //y.

L'expression ^' se réduit bien à w/y quand on y remplace Tindé- (erminée u pary^y; Q! est bien un polynôme en u\ mais, par rapport à Tautre argument x^ Q! n'est pas holomorphe parce qu'il figure dans Q! : des puissances de a? à exposants fractionnaires; des dénominateurs en X.

Je vais me débarrasser des exposants fractionnaires en montrant que Q! est identique à une expression quotient de deux développements holomorphes.

11. Prenons le cycle C,- et considérons les nt développements w/y, y == o, 1 , 2, . . . , /i/ — I . En vertu du théorème énoncé au n<> 7, il existe un polynôme S;( r, v) de degré /i/— i en (^ à coefficients holomorphes en X et aussi une fonction holomorphe D/(a7), tels que l'expression

Il est donc licite de remplacer, dans il\ w^j par

Remarquons (7 in fine) que les coefficients du polynôme S/ sont linéaires et homogènes en ^/, (lesquels jouent ici le rôle des ô,du7), coefficients (9) de i^^/y, c'est-à-dire linéaires et homogènes (9) en C/„ coefficients du développement PoC^^s Jo).