AA'+BB'=I

D ne contenant plus w; la constante D et les coefficients de A' et B' sont des polynômes par rapport aux coefficicnis de A et B. » Appli-

quons le théorème aux deux polynômes en w ^ et-r— • II viendra ridenlîté

Q et Q' sont des polynômes en a à coefficients holomorphes en x; D est aussi holomorphe en a:. Tout cela provient de ce que O a ses coefficients holomorphes. Remplaçons dans l'identité (i) Findéterminée u par //y; comme

on a

Il est donc licite, en vertu de Tidentité (o) ci-dessus, de remplacer dans a' (10)

H Lru-yrj) i'j'

par

H. Cela posé, reprenons (10) Texpression

nt (u-yrj)

^Vij -LL

IX (yu—yrj)

et remplaçons-y respectivement

(U) .Vy par -^;^^'

( 12 ) n ( " "" ■>'' vO par f(^>fif yij )

(13) Ji^yu-yrr) par "^

Q(^> vo)

Univ. dk Lyon. — Autoxnk, Courbes.

l8 COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES, ETC.

II viendra

L'expression

Ri = 2^'^^' 717) Q (-3^» J/y)/(^» «» yu) j

est une fonclion symétrique entière des racines //y de Téqualion à coefficients hoiomorphes (12)

Ainsi R/ est identique à un polynôme RiC^, w) à coefficients hoiomorphes.

Donc

J*ai ainsi débarrassé l'expression 12' des puissances fractionnaires de a:. Reste maintenant à débarrasser Q! de ses dénominateurs.

15. Supposons que D| contienne en facteur x^i et D contienne x^; on aura

A/ étant holomorphe. 12' sera donc holomorphe si tous les coefficients du polynôme R;(j, u) en u contiennent en facteur une puissance de ar, ayant un exposant au moins égal à h- 3/.

Posons

S,(jr, v) == B/o -h B/ï r -h . . . -4- B,,„,i i'«.-S

les B étant hoiomorphes.

Les coefficients T du polynôme Ri(j:, u) en u sont linéaires et homogènes par rapport aux B ; R, i^ T/o ■+- T, 1 1/ 4- T/i m* -+- . . . .

En vertu de la façon (6, 7 et 11) dont S|(j:, u) a été construit, les B sont linéaires et homogènes par rapport aux dis (9)

svij = V,{t",^, yij)Zij~^du{t/j^iY.

A leur tour les di, sont linéaires et homogènes par rapport aux Cig (9),

Bref les T sont linéaires et homogènes par rapport aux c,s. Si nous posons Cig^x^i^c'^^ c\g^o pour x-=zOy il viendra

Comme s < /li il ne peut y avoir dans Çij, réduction entre des termes qui appartiennent à des indices s différents; ainsi Tordre en tideqij, c'est-à-dire |C/, Po|, est précisément le plus petit des nombres

En vertu de ce qui précède pour rendre tous les T, combinaisons linéaires et homogènes des c/,, divisibles par jT^^^i, il suffit de prendre un

Ch Po|,

suffisamment grand, ce qui rend tous les

sufOsamment grands. Au pis-aller

En résumé, « la connaissance des développements en série, qui fournissent les coordonnées d'un point courant sur G aux abords du point multiple (ou la connaissance d'un nombre assez grand des premiers termes), suffit pour calculer un système d'enliers <jn tels que, si

I Ci, l\ I > (Ti,

Foi; a au point multiple le caractère de fonction entière et cela grâce à l'existence du développement holomorphe à deux indéterminées

16. La condition (15) |C|, Po|>(T/ suffit pour assurer l'existence de Q, mais il n'est pas évident que cela soit nécessaire pour rendre tous les Tik (15) divisibles par x^-^^i. J'ai donc trouvé pour le polynôme Po(.r, j) des conditions peut-être trop sévères. Je n'approfondirai pas davantage celte matière, car ce (|iie j'ai établi suffil pour les

théories du Chapitre suivant et pour la représentation des courhes gauches algébriques.