Toute la présente discussion se résume ainsi

Théorème. — « Pour qu'un polynôme Po(-^, j) puisse servir de dénominateur à Zy il suffit que l'ordre de Pq par rapport à chaque cycle issu d'un point de la courbe G ne soit pas inférieur à un nombre déterminé pour chaque cycle ».

Etudions donc ce qui se passe en un point ordinaire, en un point double apparent, en quelques points à singularité simple.

i8. En un point ordinaire (xq, /o> ^o)> ^o n'est soumis à aucune condition. En effet aux abords du point

y —Yo = «1 (.r — .^o) -h aj(,/- — j-o )'-•-•. -,

z est déjà par lui-même holomorphe en j: — o^q.

Prenons maintenant un point double apparent {j:q, yo)> projection commune des deux points (jcq» ^o> ^o) <ît (^o» Jo> -o)* ^^s deux développements qui définissent la courbe G aux abords du point double apparent sont

y — jo == Y = « 1 ( ^ — -^ ) H- . • • ,

z — Zq ^^ £j — t? I {^iV fcï'o ) ~J~ • • • 9

7 — 7o=Y'i=a', (^• — aro) + - • •»

z Zq — £j — O ^ yJ^ — iJ^Q j ~T- • • • ,

Zo et Zq sont les ordonnées des deux points de G projetés en jtq et jot Zq ^ -Jq. Comme les deux tangentes (2) au point double apparent sont distinctes a^^a\.

Soient W et W les deux développements du produit 5Po(j:, jk)^

l'expression

se réduit bien à W et W quand on remplace l'indéterminée u par Y et Y' respectivement. Or

Y — Y' = (ai— a\){.r — .ro)H-. . . a, — rt', ^o

W =z 3; \\(jCo. Vo) -f- (.r — .^o) [■..]•

CIIAP. I. — REPRÉSENTATION DBS COURBES 6ÀCCHES ALGÉBRIQUES. 21

Pour que il soit holomorphe en w et a: il suffit que Po(-ro, Vo) =^o. La condition est nécessaire car z doit avoir deux valeurs Zq et z'^; or ;; =z P, : Pq. Ainsi : a en un point double apparent le polynôme Po s'évanouit ».

Le fait a déjà été démontré par Halphen un peu autrement (Classijîcalion, etc., p. aS).

19. En un point (x©, /o) projection d'un point (jcq^ jof ^o) multiple à singularités élevées, le théorème du 17 impose à la courbe Po = o des sujétions nombreuses, que nous étudierons en détail plus loin (20) sur des exemples.

Signalons un cas où aucune sujétion n'est imposée à Po, malgré la

muUiplicilé du point (jc^y Vq, Zq) considéré.

C'est le cas où il passe par G une surface F(a:, v, z) = 0, telle que

ôF la dérivée partielle -r-> par exemple, ne s'annule pas en (^o» Jo» ^o)«

Oz

Alors z — zq est, sur la surface, holomorplie en jc — Xq et y — jo,

z — zq^=i ii(x — -^i^9 y j'o ) •

La courbe est sur la surface ; donc, si l'on remplace x — jtq et j — /o par leurs développements en série sur la courbe G, Î2 devient identique au développement correspondaiU de z — zq. Donc z — z^ possède, quel que soit Pq, le caractère de fonction entière, etc.

20. Étudions maintenant ce qui se passe en un point fx"P'* de G à tangentes séparées. J ^ transporte l'origine. Alors les développements sont, pour chaque cycle C/,

Y = Y, ~ aid' -\-. . . / =r 1 , 2, . . . , jJL,

w — wj^ z^^^ l) ^ \C ~r~ • • •

tous les Qi étant distincts. Pareillement,

iv = ^Po = \V,-Z,Po(.^-, Y,).

L'expression

Jj'(«-Y,)

i2(x, « ) r:r y W,- -!—, , i' yf- i

esl bien lelle que

2a COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES, ETC.

Or

fj'( Y, -Yr) = a^!'-' (...).

et Z| est divisible par x : donc pour que 12 devienne holomorphe, il faut que

L'origine est un point (jjl — 2)"p'» de la courbe Po=:o. Ce résultat a déjà été énoncé sans démonstration par Halphen {Classifica^ tiorij etc., p. 44)«

21. Halphen a annoncé également {Classification , p. 4^) qu'un point double, de quelque nature qu'il fût, n'entraînait pour Pq aucune sujétion.

C'est ce qui est évident pour un point double à tangentes séparées : il suffit de faire fx = 2 dans la démonstration du n** 20.

Prenons maintenant un point de rebroussement; appelons r -h J Tordre de contact mutuel pour les deux branches; il se conserve en projection sur les deux plans des xy et des xz, supposés orientés d'une façon quelconque.

Alors il viendra pour représenter la courbe, en transportant l'origine au rebroussement,

les a et les b étant holomorphes en x;

ai=z ax'' -\-, . ., ^, =: [3a:'" -h. . .;

le quotient b^ : a, est holomorphe; a, P = const.

Appliquons le procédé do calcul du 6; le procédé se réduit ici à l'élimination de t. Il viendra

z — bo bi y — «0 «fi

^^^^^Mzzii^

Comme bi : «, est holomorphe, z a déjà par lui-même le caractère de fonction entière. c. q. f. d.

Ma méthode générale permet donc de retrouver avec facilité les divers résultats particuliers énoncés sans démonstration par Halphen.

cil A p. I. — REPRÉSENTATION DES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES. 23

22. Tout ce premier Chapitre se résume dans le théorème unique que voici.

« Quand on représente la courbe gauche algébrique G par les équations

où / est indécomposable de degré n égal à celui de G et où les degrés des polynômes P, et P© sont deux entiers consécutifs s -h i et s respeciivement,

» Alors le dénominateur Po peut être pris à volonté, pourvu que Po

» I. S'annule en chaque point double apparent,

» II. Possède par rapport à chaque cycle de G, issu d'un point multiple, un ordre au moins égal à une limite inférieure fixe, pour chaque cycle. »