Prenons une courbe G de degré n représentée (22) par

^ = P,:Po, / = o

et une surface algébrique, de degré N, ^, représentée par Téquation,

[/=:o,i, ...,N], Y{x, y,z) — ^k^iz'=zo,

A,,/— polynôme en x et y de degré N — /. Je vais exprimer que la courbe algébrique G est située sur la surface $.

25^. Considérons les deux polynômes Pj et Po; en un point double apparent z a une valeur double et Po = o, donc P| s'y évanouit aussi. En un point multiple /Wo(J^o> Jo> ^o) de G, prenons un des cycles C, issus de ce point, savoir

z 5o = Va (^) )

Y) et Ç étant holomorphes en ^ et r désignant Tordre du cycle. Alors

Avec nos notations habituelles (5)

ao = |C, Po|, ai=|C, P,|.

En mo, z n*est ni nul, ni infini, mais a une valeur unique finie z^^

donc «0= <^i>

|C,P,| = |C, Po|.

Pi peut donc (théorème du n" 22) servir de dénominateur à z\ Pi a

CHAP. II. — CALCUL DU NOMBRE JÏj, 25

s-hi pour degré, le nouveau numérateur Pj aura pour degré s-f-2. Raisonnons sur le couple (Pi, Pj) comme nous venons de le faire sur le couple (Po, Pi); nous formerons un troisième couple (Pj, P3) et ainsi de suite. Bref, sous le bénéfice de/(j:, j) = o, on a

Po^Pi-P, "^Pa P/-,

d'où

/ = entier positif quelconque ; P^=: polynôme en x et j de degré s -h l; Po= polynôme en x et y de degré s.

25. Cela posé, remplaçons dans Téquation F=:o de la surface S (23) 5' par P/ : Po et chassons les dénominateurs. Le polynôme de degré 5 + N

^'=^^Ay.iPi [/=o, I, ...,N]

est nul en tous les points de la courbe ^, /=ro. C'est la condition nécessaire et suffisante pour que la courbe G soit située sur S. Comme /est indécomposable, Î2' est divisible par/; appelons -— w le quotient qui est un polynôme de degré 5 -h N — n. L'expression de degré 5 4- N

Tout se réduit ainsi à établir Tévanouissement identique de il.