DEUXIÈME PARTIE

CHAPPDRES DEV

GROUPES SEMI-SIMPLES. PROPRIÉTÉS DE L'ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE D'UN GROUPE SEMI-SIMPLE

4. Parmi les groupes non intégrables, une classe très importante est formée par les groupes d'ordre r > 4 qui n’admettent pas de sous-groupe invariant intégrable. Nous appellerons ces groupes semi-simples(), Parmi les groupes semisimples, ceux d'ordre r > 1 qui n’admettent pas de sous-groupe invariant sont dits simples. Il résulte de là qu’un groupe simple est son propre groupe dérivé et par suite n’est pas intégrable.

Rappelons que, d’après le chapitre précédent, pour qu'un groupe soit semi-

[ Ë . = . 2 N simple, il faut que les équations . == CARTON EN cu; NI) CS

Le coefficient 4e) de l’équation caractéristique d’un groupe semi-simple est donc réductible à une somme de r carrés indépendants.

Réciproquement, si le discriminant de la forme quadratique 4, (e) est différent de zéro, le groupe G n’admet aucun sous-groupe invariant intégrable ; car s’il en admettait un, g, en prenant les groupes dérivés successifs de g, on finirait par en trouver un, g', invariant dans G et formé soit d’une seule transformation infinitésimale, soit de transformations infinitésimales échangeables entre elles. Si Xmsaf, Xmof, -.., Xf Sont ces transformations, on vérifie immédiatement que le déterminant caractéristique ne dépend pas de emi, Emrps --.,0, et par suite Ye) est réductible à une somme de m carrés indépendants au plus.

(1) Cette expression est la traduction du mot « halbeinfach » introduit par M. Kizuwe, Z. v. G., IE, p. 14. La dénomination de groupe « simple » est due à M. Læ; v. Lie, Transformationsgruppen, I, p. 264.

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Théorème I. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un groupe soil

semi-simple est que le discriminant de la forme quadratique ae) soit différent de zéro.

2. Supposons qu'un groupe semi-simple G d'ordre r admette un sous-groupe

invariant g d'ordrem: X,f, X2:f,..., Xf. Alors (IL, 5) les équations 0Ÿ: Den UE Vos ne 0Ÿ, pee 0 de = de» sa “ dem :

définissent un autre sous-groupe invariant g' de & et les transformations com-

munes à g et g' forment un sous-groupe invariant intégrable de G. Il faut donc que les équations

AQU osé e e ( 0 nr — . — RC 0 EC — de, des dem re DEN entrainent TE Ve OS OU die Donc les 5» formes linéaires MR OST sont indépendantes en &,,,..., 0» JE Em

et g' contient »—m transformations infinitésimales X',,,f,...,X',f indépendanteside XX. Xl, =Deplus on woitque

Lo DE (ei, C2) ., En) Em te Em2s HO) CAE

Il en résulte que © et y sont deux formes quadratiques à discriminant différent de 0, par suite que les deux sous-groupes invariants g et g' sont semi-simples.

Théorème IF. — Si un groupe semi-simple G d'ordre r admet un sous-groupe invariant g d'ordre m, il admet un autre sous-groupe invariant q" d'ordre r—m n'ayant aucune transformation commune avec q, el les deux sous-groupes q et q' sont semi-simples.

REMARQUE. — La démonstration s’appliquerait encore si on supposait le sousgroupe invariant g semi-simple, sans rien supposer sur le groupe G; on aurait encore un sous-groupe invariant g d'ordre r—m n'ayant aucune transformation commune avec g et échangeable avec g. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème HIT. — Si un groupe G d'ordre r contient un sous-groupe invariant semi-simple q d'ordre m, il admet un sous-groupe invariant g! d'ordre r—m n'ayant aucune transformation commune avec qg; autrement dit, il se décompose) en

deux sous-groupes invariants dont l’un est précisément q.

(1) Cette expression est la traduction du mot « zerfallen » dû à M. KizuwG, Z. v. G., IX, p. 57 et 74. Un groupe se décompose en plusieurs sous-groupes lorsque ces sous-groupes n'ont aucune transformation commune et que toute transformation infinitésimale du groupe est une combinaison linéaire des transformations infinitésimales des sous-groupes. On pourra remarquer qu'il y à un lapsus dans la définition de M. KizzG, lorsqu'il dit que toute transformation du groupe, à part la transformation identique, appartient à un et à un seul des sous-groupes en question,

3. Revenons aux groupes semi-simples. Soit G un tel groupe. Si G est un sous-groupeinvariant de G qui nesoit contenu dans aucun sous-groupe invariant plus grand autre que G, G admet un sous-groupe invariant semi-simple 4, qui avec G, complète G, et g, n'admet évidemment pas de sous-groupe invariant ; comme il ne peut pas être d'ordre 4, parce qu'il serait intégrable, il faut que gi soit un groupe simple. G&, se décompose de même, s’il n'est pas simple, en deux sousgroupes invariants (3 et ÿ:, ce dernier étant simple, et ainsi de suite.

Théorème IV. — out groupe semi-simple se décompose en un certain nombre de sous-groupes invariants simples échangeables entre eux, et réciproquement.

La réciproque est en effet évidente, car si un groupe formé de À sous-groupes invariants simples gi, g:,...,gn admettait un sous-groupe invariant intégrable y, les transformations communes à g et g, par exemple formeraient un sous-groupe invariant intégrable de g:, ce quiw’est possible que si g n’a aucune transformation commune avec g,. Le même raisonnement prouve que la décomposition d’un groupe semi-simple en groupes simples n’est possible que d’une seule manière.

Le théorème IV montre aussi qu'un groupe semi-simple est son propre groupe dérivé.

L'étude des groupes semi-simples se ramène donc immédiatement à celle des groupes simples.

4. Considérons un groupe semi-simple et mettons-le sous la forme réduite relative à un sous-groupe y déterminé. Appelons toujours Xof, Xo2/, ..., Xoxf 1CS transformations infinitésimales qui déterminent le sous-groupe +, et X,if, Xo2f, -+., Xem f Celles qui appartiennent à la racinew, (x —1,2,...,p). Nous supposons de plus (IL, 6) que l’on a

(1) KoX7), = SX + Coins 3 0X a jf + 2 Cote) Xa1/; CR 2,0, «0,1 9; 2):

Considérons alors la forme quadratique %,(e). Comme le groupe est son propre groupe dérivé, 4(e) est identiquement nul et par suite (IF, 1), on à 1,2, +.

(2) — 24e) — > Cie jCinnC jun + DRE

Supposons que Xif, X2f, .…, X,f soient dans un certain ordre les transfornation 0 1 2 p;0—1,27,M".). etque dans les formules (2) les indices #, 7, À, p se rapportent aux transformations X'f, …, X;f. Alors pour que le coefficient de ee, ne soit pas nul, il faut que les racines auxquelles appartiennent X'fet X/f soient égales et de signes contraires, car sinon tous les pro-

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duits Cut seraient nuls (II, 42). 4, est donc la somme d'une forme quadra-

tique en ei, €pa «6x et d’une somme de termes de la forme "Aer dUDe EE = OMR SE 2 D).

(3) Ya == De, Epa, +. Cox) + y» Apaten (2% 8— 1 2, ….,p; w + = 0). CAEN)

On déduit immédiatement de là que pour avoir la valeur de ®, il suflit de prendre le coefficient de w’-? dans le premier membre de l'équation caractéristique relative au sous-groupe y. devant être réductible à une somme de k carrés indépendants, les racines w,,w, ..., w, ne peuvent s’annuler en même temps pour aucune transformation de y. Si alors nous nous reportons au corollaire du théorème XII (IL, 43), nous voyons que le groupe dérivé de y doit se réduire à la transformation identique, e’est-à-dire que les transformations du sous-groupe y sont échangeables entre elles.

La formule (3) montre en outre que les racines de l'équation caractéristique sont deux à deux égales et de signes contraires. Je dis de plus qu’étant donnée une transformation infinitésimale quelconque appartenant à la racine w,, soit par

— ii)

exemple X,,/, je puis lui en associer une autre appartenant à la racine w, — E soit Dh Xi f XX 8f don em fs telle que si (Xu%:)=e0Xo1/ +... +CorXoxf, on ait

Eoiw,0) sr pa, () Se 0e Cool) ee 0 ; car s'il n'en était pas ainsi (II, 13), l'équation caractéristique relative à une quelconque des transformations (XuX:,), ..., (XXe) aurait toutes ses racines nulles, ou plutôt chacun de ces crochets serait nul. Considérons alors le coefficient de euex

par exemple dans ile). C'est, à un facteur constant près,

A = À conne Au bj Prenons dans cette somme tous les termes qui se rapportent à la même valeur de À; ils seront nuls si aucune racine n’est égale à w,+w,; et dans le cas contraire il faudra prendre pour x l'indice qui correspond àla racine w,+w,. Mais d'après les relations entre les €, on a

In, =" DA en ee DRASS RTS LE 2 = 0 DA) (BED TT Ad AE e7)/(a1)(p7)N) (81)(a1)(09) x $ J—1 1 1

Le dernier terme est nul par hypothèse, et on voit que la somme des termes de A qui se rapportent à une même valeur de À est nulle si w,—w, nest pas racine, et est égale à la somme des termes qui se rapportent à l'indice p,

Si &,—w, —0%,, En continuant de proche en proche on finira par arriver à une

somme nulle. Donc finalement A— 0. Les coeflicients de Paie nlrs Catéges eus r d seraient donc nuls et par suite e,, n'entrerait pas dans , ce qui est impossible. Supposons donc que à étant un des indices 1,92, ...,m;, on ait

DO al”-gm, £

TE >» Capo) a) Æ 0.

Pi Si nous nous reportons au $ 14 du chap. Il et si nous remarquons que (aa) = SX af, nous voyons que la racine w, est simple el qu'aucune des quantités 2w,, 3w,, . n’est racine.

Si enfin nous remarquons que parmi les racines de l'équation caractéristique relative au sous-groupe 7, il yenacertainement k d’indépendantes, nous voyons que le rang / du groupe (II, th. V) est exactement égal à #.

Théorème V.— Æiant donné un groupe semi-simple d'ordre r et de rang !, l’équation caractéristique de ce groupe possède L racines identiquement nulles et L seulement. Chaque transformation générale fait partie d’un sous-groupe + d’ordre Là transformations échangeables entre elles. L’équation caractéristique relative à ce sousgroupe y n'a, à part la racine 0, que des racines simples deux à deux égales et de signes contraires ; L de ces racines sont indépendantes ; si w, est une racine, il n’en est jamais de même de 2w,, 3w,, ... Enfin le crochet des deux transformations qui appartiennent à deux racines égales et de signes contraires n’est jamais nul.

Dorénavant je désignerai simplement la transformation, définie à un facteur constant près, qui appartient à la racine w,, par X,f. De plus je désignerai par

x l'indice de la racine égale à —"w,. Je poserai en outre pour simplifier (4) (XX!) = Va = Caya, (0 X of + EE Ca, a’, wXof -

Comme la quantité Xc,,,,6n".) est différente de 0, je pourrai toujours

supposer que j'ai les relations suivantes :

(5) QEX = —2X;f, CYEX = 2X 0, EN REON E il suffit pour cela de multiplier X.fet X,f par des constantes convenables. Y,f est alors complètement déterminée. Je poserai enfin (6) EX x. CRAN RER 0 J'introduis ainsi (r—/)? constantes a, où par convention on a Aux = — 9, DEN Re, lag” — — lag Are = — ge

Les formules (5) montrent qu'à chaque couple de racines égales et de signes contraires correspond un sous-groupe à trois paramètres simple.

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La transformation infinitésimale Y./, telle qu’elle est définie par (5), sera

dite associée à la racine w..

5. Soit w, une racine. Prenons une racine quelconque w, et supposons que 0, + 0,, 6, + 2, ..., w,—+huw, soient racines, mais non w,<+(h+1l)u; de hw,. La formule (28) du ch. IT ($ 13) devient ici

(+ h + ag = (hi —R\h + h +1),

MÊME Wy—0w,, ..., We c'est-à-dire

(1) a h—N, et cette formule est encore applicable si À ou k' sont nuls. De plus, si on suppose k > 4 et si on appelle 4, la racine w,+w,, ona

CagrCalye == i— h(h' + 1) DE 0.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème VI Ü). — Zecrochet des deux transformations qui appartiennent aux racines w, et w, est différent de 0 si w, + uw, est une racine. De plus dans les formules

(YeXs) = GosXof; (dis = — 2), les constantes a, sont des nombres entiers qui jouissent de la propriété suivante : l'expression w,+ a,çw, est une racine, de même que toutes les quantités w, to, w, + 204,..., comprises entre w, el ao; enfin si w, + how, est une racine, il en est de même de w, + (as — hjo, cette dernière propriété caractérisant d’ailleurs complètement le nombre ae.

Nous avons supposé implicitement qu'il n'y avait pas d’autres racines de la forme w, + mu, que celles comprises entre w, — he, et w, + hw,. Or cela est évident, car si w, =w, +(h+/hkju, était racine (k> 2) sans que w, + (h + k— ju, le fût, on devrait avoir d’après la formule (7)

: U£E > 0; mais

los = Aya + (h + has = —(h + h + 2k) <LO, ce qui est impossible.

Remarquons que de la définition même des nombres 4, résultent les faits suivants : Si w, — M, + nwy +..., OnA

Bi = Mai + Ni + ... ; CSN nf nf Mont

di, = Mis + Ne + ...

(2) Cf. KiunG, Z. v. G., Il, p. 34 et 16.

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS ol

Le fait qu’on peut déduire de l'existence de deux racines l'existence d’une troisième racine est fondamental pour la suite.