Soient w; et w,; deux racines et posons | Wx = W; + di

Cherchons à déterminer les a,; connaissant les a; etles a; Si w, = vw, +hoz est une racine, il en sera de même des quantités suivantes : D = 0 + dj = 04 + dj0; + (ox + 4x0), D = 0, + A = Wa + dajo + (dei + dajtji)oi + Moy + aj0; + (Ari + Axjaji)oi], De = + jo; = O4 + (Qi + dj j)(oi + Go) + Rloz + (ani + da) wi + ajw,)], d'où, en tenant compte de la valeur de w4, D, = 0, + (au + dei — hjos.- Il en résulte (fin du Th. VI) que Uk — ai FT Qajajie Si nous appelons Y;f la transformalion du sous-groupe y associée à wy, nous avons alors, quel que soit «, | (rx — Y: — a;Y;, X,) = 9, d'où, puisque pour aucune transformation de y les racines ne peuvent être toutes nulles, Vf = Vif + af.

Théorème VII. — Si Y,f et Y,f sont les deux transformations du sous-groupe y associées aux racines w, et w, Y,f+a,YAf est une transformation associée à une

troisième racine, à savoir w, + 4,504. Si alors on pose

DS = 04 + ait DS; — (w,S)S; ; ' Ye = Ya + Gif, YS;S; = (Y.S)S;, A CE à la racine wSiS;Sx... est associée la transformation Y,S;S;Sx...

Le raisonnement fait nous montre en outre que si

WU — WS on à OS} = HS, 995) d'où par suite :

Théorème VIII. — Si on appelle w, la racine wS; S;, : 5, on a, quel que soit «, (8) Do — wS; S;, CE Si 989 ee S,) et si Vif = YSj95, --. 5j, On à de même (9) NPS> —= YeS 5 59 à .... S;,SiS 9j … Si,

CARTAN 8

58 E. CARTAN

7. Je vais maintenant exposer la manière dont Killing utilise la propriété fondamentale des entiers 4;;, ). Soient p racines quelconques indépendantes wi, 4, ...,w,. Considérons une racine quelconque non indépendante de 1,0, ...,w,, C'està-dire de la forme myw, + mous + ... + myw,. Si nous effectuons sur celte racine w, la substitution Y— S,S...S,, nous trouverons une autre racine w,Ÿ; de même w,2?, w,%, .... Le nombre des racines étant fini, il faut que pour deux entiers h>0 et uw>14, on ait

als SlOD POSE Si, MOD VOI Que do

DO = à, = Si on fait cela pour toutes les racines non indépendantes de «4, 02, ...,w,, on obtiendra une série de nombres entiers æ dont nous prendrons le plus petit commun multiple. Si nous le désignons encore par y, nous voyons que quelle que soit la racine 0, = Mu + Mau + ... + M,0,, ON 4

DDC),

Sinous regardons nu, M2, ..., M, Comme des indéterminées, la quantité w,2

est de la forme mie, + mu + .., + m;w,, où

(40) M — D bay, CR ol Comme il y à au moins p racines w, indépendantes, par exemple 4, 6, . ., w,,

il faut que la substitution (10) répétée à fois sur les variables m4, ma, ..., m,, donne la substitution identique.

Il faut et il suflit pour cela ® que le déterminant

DS UE ose bin (11) Den by a 0 VER ba bp pp —S

qui contient l’indéterminée s, ne s'annule que pour des racines x* de l'unité et que si $, est racine multiple d'ordre À du déterminant, elle soit racine multiple d'ordre h—1 de tous ses mineurs du premier ordre. Calculons donc les coefficients 44. Si nous posons MS 92... 8 = MU, HE mio, +... + m, Vo, nous voyons que

(LMKILLING, Zv. (Il p.18-23.

(2) V. Lrrsourrz, Acta Mathematica, t. X, p. 131 sqq.

ml = mi, mo = mi + > ma; Get) pi On en déduit facilement les relations suivantes (), en remarquant que my") — m,, pour 22% etque mi — Xbm,-pour 1 < 4:

p—=i—1 br ÿ Gibor (27 p—1 p—i—1 (12) bi + > db ie 4 p—1 p—i 1 bg — » Aider + Ai << k:

ET On déduit de là bi = —1, by = an, ce. y Am »

bn — Qybys — 0, 32 — Aisbys = — À, .) bp — Gyebiy — lp, p—?—1 p—p—1 p—=p—1 INT NU EN EN ET DD 7 p—1 p—1 p—1

Par suite le déterminant (11) est égal au déterminant

—1—5s a; GE rs UE — 1 —5$ 32 SATA UP

(43) dis l23S —A1—s ... a» —=1D(s)} AipS AS A3pS a —1—5

et pour les deux déterminants (11) et (43), les mineurs d’un certain ordre de l’un quelconque d’entre eux s'expriment en fonction linéaire des mineurs du même ordre de l’autre.

Le déterminant (13) ne peut pas s’annuler pour s = 1 sans que 1 soit une racine multiple d'ordre pair 2h ; mais alors le mineur obtenu en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne devrait avoir la racine À comme racine multiple d'ordre 2h —1 au moins, c'est-à-dire d'ordre 2h au moins, et ainsi de suite jusqu'à —1—5 qui n’admet pas la racine 4. Donc le déterminant (43) ne

s'annule pas pour s—1, autrement dit, on a

CRC 672 0ve CUT D 197

60 E. CARTAN

PAIE AU (HET ASIE D) et cela sous la seule condition que les racines 6,, &, ...,w, Soient indépendantes (). Il en serait de même si les transformations Yif,..., Y,f étaient indépendantes. On a donc le théorème suivant :

Théorème IX. — La condition nécessaire el suffisante pour que p racines Wi, Wa, ..., w, soient indépendantes est que le déterminant des entiers a;; correspondants soit différent de zéro. La condition nécessaire et suffisante pour que les transformations du sous-groupe y associées aux p racines 4, M, ..., w, soient indépendantes est que le déterminant des entiers a;; correspondants soit différent de 0.

Pour que les transformations Y;f, ..., Y,f associées aux p racines 04, w:, )

soient indépendantes, il faut et il suffit que les p racines soient indépendantes. Si alors w,, 2, ...,w, sont p racines indépendantes et w,,, une racine de la forme muuw, + maws + ... + myw,, les m; sont déterminés par les relations pp?

TT D) Mi, (M0) p—1 etpar suite, comme |a;| est différent de O0, sont des nombres commensurables.

Coroliaire(®). — Si p racines sont liées par une relation linéaire et une seule, on peut toujours la ramener à être à coefficients entiers. De même si p transformations du sous-groupe y, associées à p racines, sont liées par une relation linéaire etune seule, on peut ramener cette relation à être à coefficients entiers.

En particulier si on considère ! racines quelconques indépendantes, toutes les autres s'expriment en fonctions linéaires à coefficients commensurables de ces l'racines ; de même pour les transformations qui leur sont associées, relativement aux transformations associées aux / premières racines.

8. Si nous développons le déterminant (13), nous trouvons (— 1}D(s) = $ — Mist +. — M, 35 +1, où, en particulier, en supposant ü <'h <i3 <<, onà M, — ed ee Dai Gi, ie Zi, Qi ii + tt + Gioos . Up 1,pAm.

Si nous remarquons que l’équation D(s) = 0 doit être réciproque et que d'autre

(1) KizuinG, Z, v. G., IL, p. 22.

(2) Cette proposition (ou plutôt la première partie de cette proposition) n'est énoncée par KizLING que dans le cas p—1+1.

nous trouvons, en SUppo-