GROUPES DE RANG ZÉRO

4. M. Lie a depuis longtemps ( partagé les groupes en deux grandes classes, les groupes intégrables et les groupes non intégrables.

On dit qu'un groupe est intégrable lorsque l’ordre de ses groupes dérivés successifs va constamment en diminuant jusqu'à ce que l’un d’eux se réduise à la transformation identique. Un groupe est non intégrable lorsqu'à partir d’un certain rang, tous ses groupes dérivés sont identiques, tout en étant d’un ordre plus grand que zéro.

Il résulte immédiatement de cette définition que fout sous-groupe d’un groupe intégrable est intégrable, que si le groupe dérivé d'un groupe donné est intégrable, le groupe lui-même est intégrable, que l’ordre du groupe dérivé d'un groupe intégrable est inférieur à celui du groupe.

Si G est un groupe intégrable d'ordre r, G; son groupe dérivé d'ordre ri 7, G admet au moins un sous-groupe invariant d'ordre r—141; il suffit d'ajouter à G, #—7,—1 transformations infinitésimales quelconques indépendantes entre elles. Un tel sous-groupe invariant étant lui-même intégrable, admet un sous-groupe invariant à 7—2 paramètres, et ainsi de suite.

Théorème E. — Si un groupe d'ordre r est intégrable, il admet un sous-groupe invariant d'ordre r—1A, celui-ci un sous-groupe invariant d'ordre r—92, et ainsi de suite.

C'est d’ailleurs là la première définition que Lie a donnée des groupes intégrables.

La réciproque du théorème est évidente, car si un groupe d'ordre r admet un sous-groupe invariant à 7—1 paramètres, sou groupe dérivé est un sous-groupe de ce sous-groupe invariant.

(1) Archiv for Malh. og Nat., 1878, t. 3, p. 112-116. La notion de groupe intégrable a été introduite pour la première fois par Lie en 1814 dans les Comptes Rendus de l'Acad. des Se. de Christiania ; le nom lui-même de groupe intégrable se trouve pour la première fois dans les Leipziger Berichte, 1889.

I y à plus. M. Lie, en partant de ce fait évident que toute transformation infinitésimale linéaire et homogène en x, 2, …, a, laisse invariant au moins un point 2:2:..:æ,, et que toute multiplicité invariante par un sous-groupe invariant g d’un groupe G est transformée par G en une multiplicité invariante par g, à démontré que tout groupe intégrable, linéaire et homogène, laisse invarlants au moins un point, une droite passant par ce point; une multiplicité plane à deux dimensions passant par cette droite, etc. Appliquant cela au groupe adjoint d'un groupe intégrable, on arrive au théorème suivant, dû à Lie ().

Théorème IL. — J'out groupe intégrable d'ordre r contient un sous-groupe invariant d'ordre À, lequel est contenu dans un sous-groupe invariant d'ordre %, ce dernier dans un sous-groupe d'ordre 3, et ainsi de suite ; de sorte qu’on peut trouver r transformations infinitésimales indépendantes X;f, X:f, …, X,f telles que

= ROM EDIT 0 OLA, ...,r; k—1,9, ..,,r—i).

Dans l’énoncé du théorème I, le sous-groupe d'ordre g(q = 1,9, .… , r —1)

n'était invariant que dans le sous-groupe d'ordre qg+1.

2. Les formules (1) nous donnent immédiatement la forme de l'équation caractéristique d'un groupe intégrable.

On à en effet

ir / pr (2) A(w) = — w [} > EC — © si FI

Le déterminant caractéristique d’un groupe intégrable se décompose en un produit de facteurs linéaires en w, 61, e2, .…, er.

Si nous nous reportons au corollaire du théorème II du chap. Il, nous voyons que ces formes linéaires Xe,c,; (1 = 1,2, …., r) sont des invariants du groupe adjoint. Par suite, elles s’annulent identiquement pour le groupe dérivé (I, 9). Donc (If, 3, th. Il) :

Théorème IL. — Le groupe dérivé d’un groupe intégrable est de rang zéro.

M. Killing (Z, v. G., I, p. 269) énonce bien la propriété du groupe dérivé d’être de rang zéro, lorsque les coefficients de l'équation caractéristique du groupe peuvent s'exprimer en fonction de / formes linéaires en &, &, .…., e,, l étantle rang du groupe ; mais nulle part il ne dit que ce fait se présente pour tous les groupes intégrables.

(4) V. Le, Transformationsgruppen, I, p. 618 sqq.

46 E. CARTAN

3. M. Engel est le premier qui ait démontré la réciproque du théorème IT, à savoir que tout groupe de rang zéro est intéggable (. Voici sa démonstration, un peu modifiée.

Remarquons d'abord que, d'après le Th. IV du Chap. Il, fout sous-groupe d’un groupe de rang zéro est lui-même de rang zéro.

De plus, rappelons le théorème suivant, démontré par M. Lie ©), à savoir que siun groupe d'ordre r contient un sous-groupe intégrable d'ordre q <7, ce sousgroupe est au moins contenu dans un sous-groupe d'ordre q +1.

Cela étant, pour démontrer que tout groupe de rang zéro est intégrable, il suflit de démontrer que tout groupe de rang zéro d'ordre >» contient au moins un sousgroupe invariant d'ordre »—1. Or cela est vrai pour #7 —2, car alors on a (XiX:) — 0. Supposons que cela soit démontré pour r = 1, 2, .…, s. Je dis que le théorème est vrai pour #7 = s+1. En effet, prenons dans un G,,, de rang zéro une transformation infinitésimale quelconque. Elle est contenue au moins dans un sous-groupe à deux paramètres nécessairement intégrable, soit 92; g2 est donc contenu dans un sous-groupe 4; de rang zéro et par suite intégrable si 3< 5, g3 dans un sous-groupe g,, et ainsi de suite. Finalement on arrive à un sous-groupe y, d'ordre s —7—1. Je dis que ce sous-groupe d'ordre #—1 est invariant. Il suflit pour cela de démontrer qu'une quelconque de ses transformations combinée avec une certaine transformation ne faisant pas partie de 4, donne naissance à une transformation faisant partie de g.. Or soit X;f une transformation quelconque de g. On peut trouver (II, 7) #—1 autres transformations X:f, .…, X,-1/ telles.que l’on ait

Î=i-1 (XiX:) — D Cri X jf; (Gi = 2,3, ...,r).

Pi Soit X,f la première de ces transformations qui ne fasse pas partie de g,. On aura CUXG) = Go Xif + CagXaf + 2 + Crigrai gts c'est-à-dire que (X,X,) fait partie de g,. COAOPATANE Tout groupe de rang zéro est donc intégrable. Par suite on peut donner à sa structure la forme (4), où cette fois toutes les constantes Cjx Sont nulles : S—i—1

(3) (XX) = y Ci, its Xef +

(4) Uuraur, loc. cit., p. 35 sqq.

(2) Le, Transformationsgruppen, 1, p. 596 sqq., et II, p. 682.

Théorème IV. — La condilion nécessaire el suffisante pour qu'un groupe soil intégrable est que son groupe dérivé soit de rang zéro.

On voit sur les formules (3) que tout groupe de rang zéro contient au moins une transformation infinitésimale distinguée à savoir X,f, et que son groupe dérivé est d'ordre r—2 au plus.

4. On peut donner un critérium extrêmement simple pour reconnaitre si un groupe est intégrable ou non. /{ suffit, en effet, que le groupe dérivé d'un groupe G d'ordre » annule identiquement le coefficient v{e) de l'équation caractéristique de G pour que G soit intégrable.

Car si G n’était pas intégrable, il aurait un sous-groupe invariant, à savoir un de ses groupes dérivés successifs, qui serait son propre groupe dérivé. Or pour ce sous-groupe invariant, 4,(e) serait identiquement nul. De plus, il en serait de même de fe), puisque le groupe dérivé de G annule tout invariant linéaire du groupe adjoint et en particulier d,. On aurait donc un certain groupe d'ordre q pour lequel l'équation caractéristique serait de la forme

(4) ot — We )o + p(ejert + Æ Yo(e)o = 0,

et qui serait son propre groupe dérivé. Or, mettons ce groupe sous la forme réduite relative à une transformation générale quelconque. En employant les notations du Ch. Il, $ 10 sqq., nous voyons que toutes les transformations du sous-groupe y: Xo1fs Xo2fr -» Xowxf> Se déduisent linéairement des crochets (X;X,;) et (XX), un, lu 1,2". ,1p). Or, d'apres le théorème XIT (Il, 13), pour chacune de ces transformations (X,:Xo;), (XaX:;), les racines de l’équation (4) sont des multiples réels de l’une d’entre elles, ce qui, d’après la théorie des équations, n’est possible que si toutes ces racines sont nulles. On peut donc supposer que pour X transformations indépendantes du sous-groupe y, l'équation caractéristique a toutes ses racines nulles, et par suite il en est de même de l’équation caractéristique relative au sous-groupe y lui-même. Cela n’est possible que si k=—r, c'est-à-dire si le groupe est de rang zéro. Mais alors il est intégrable et ne peut pas être son propre groupe dérivé.

Théorème V.— La condition nécessaire et suffisante pour qu’un groupe d'ordre r soit intégrable est que les transformations de son groupe dérivé annulent identiquement le coefficient We) de ww"? dans son équation caractéristique.

Remarquons que si X,y4f, Xmyof, .…, X,-f forment le groupe dérivé d'un

(1) Cf. Umraur, loc. cit., p. 40, Satz 12.

4S E. CARTAN

groupe intégrable G, (e) ne dépend que de &, €, ..., €m, et réciproquement, d'après le théorème V, si d.(e) ne dépend que de &, €, .…., em, le groupe est

intégrable. Alors les équations 0% 042 Œ dy,

DE Les Jen? der se réduisent à des identités. Done dans le cas général le groupe sera intégrable si

les équations

On db .

dc —0, (2, B = A2 er 0) de,

ot )

se réduisent à des identités, ce qui, en tenant compte de l'expression de d,(e) et des

relations entre les cx,, peut s’écrire

LÉ ADN LP FOOT 2 (5) > Cul jp Con — D CipaC jp. Cv) WE J k — de D SOC Fr}. LS) Dh V

Les équations (5) expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que le

groupe soit intégrable.

5. Reportons-nous au théorème énoncé à la fin du chapitre premier et appliquons-le à l’invariant 4, (e) du groupe adjoint. Nous voyons qu’on peut énoncer les propositions suivantes, conséquences du théorème V :

Les équations linéaires

TU (= 2 Er) définissent un sous-groupe invariant intégrable. Si aXif + xXof + +oX,f, (i—1,2,...,m) sont m transforma-

tions infinitésimales indépendantes d’un sous-groupe invariant q d'ordre m du

groupe G: X4f, X2f, ..., X,f, les équations Ro (UM 2 mn)

définissent un sous-groupe invariant q' de G, et les transformations conmunes à ce sous-groupe invariant jet à g forment un sous-groupe invariant intégrable de G, car pour toute transformation commune à get d' d, s’annule.

En particulier s g est le groupe dérivé de G, g' est un sous-groupe invariant intégrable. Nous verrons plus tard que c'est le plus grand sous-groupe invariant intégrable de G; il est défini par les équations

(ui

(6) > de 0 (i,k = 1,9, ...,r).

6. Revenons à un groupe quelconque d'ordre #, intégrable ou non, mis sous la forme réduite relative à un sous-groupe y déterminé. Soit toujours

CA7D. 097 A CRD + Cam Nam, Ja transformation infinitésimale la plus générale qui

appartienne à la racine w,. Soit Eif, Ew/,...,Exf le sous-groupe du groupe

adjoint qui correspond au sous-groupe y.

C'est un groupe linéaire et homogène de rang zéro, et par suite intégrable, qui échange entre eux les points de l’espace eur, uns +, Eam,. Donc, d'après une remarque déjà faite (K 1), il laisse invariants un point de cet espace, une droite passant par Ce point, ete. Autrement dit on peut (OUJoUrS choisir Xaf, .. , Xomf. de telle façon que l’on ait

(7) (XoiX aj) = Ÿ conso X te RM 2 ed 2 D 1 et de plus on a (8) Coañan = Va.

En particulier on a, quel que soit 1, (XoiXa) = = IX auf (a =

M. Killing fait un usage constant des formules (7), qu'il ne démontre d’ailleurs que dans le cas où le sous-groupe y a toutes ses transformations échangeables entre elles. Mais même dans ce cas la démonstration qu’il donne n'est pas rigoureuse(). Il dit en effet que si, pour chaque transformation %,f de +, il y a par exemple trois transformations au moins X4f, Xf, X.:f, telles que

(GX) — wo Xoif, (MX) = wo X/f, (LoXa3) = OX 3f, et s’il n’y en a que trois en général, par exemple pour %,f, on aura, quel que soit t, (XoiXa1) = IX of, (XoëXs2) = = EX Xaf, (XoiX le = w,Ù X of. Or cela n’est pas es :1il suffit de prendre £—92, et

DAS Re (Xo1X32) = X:2/, (XoiXas) = Xs5f + Xuf , (Xo2Xa1) = X af» (XX 42) = Xof + Xaf, (XX 3) — Xcaf.

7. Les résultats énoncés et démontrés dans les SA, 2et 3 sont dus en très grande partie à M. Lie ; néanmoins la démonstration de la propriété des groupes

(1) V. Kiuwe, Z. v. G., IE, p. 10, et IT, p. 68.

CARTAN î

50 E. CARTAN

de rang zéro d'être intécrables a été donnée pour la première fois par M. Engel. D e) Quant aux $ 4 et 5, ils se rapportent à des résultats entièrement nouveaux.

M. Killing (Z. v. G., I, p. 285 sqq.) a fait aussi une étude particulière des

groupes de rang zéro; mais ses raisonnements manquent de rigueur et il énonce des théorèmes inexacts 0).

(1) Kiui6, Z. v. G., I, p. 288 ; voir à ce propos Umraur, loc. cit., p. 45, note.