EN

part pour avoir s’D (=) il suflit de changer 4;; en 4; sant toujours que dans chaque somme à <Z ù ...,

= h J M,: Pere = ÿ4) = Adi, di + Lai ini Giiy 1e OO CETURCEES lpp1dips

et on doit avoir M, — M,1. Comme cela a lieu quels que soient l’ordre et le nombre des racines w,, 2, ...,w,, on voit que si on prend un nombre quel-

conque de racines indépendantes w,, 6e, .…., 6, &,, on 4 (14) HS NE EC CRE :

Enfin (?) si —1 est racine multiple d'ordre À de D(s), on voit que

D(s) = {— 1 — shheir — sjfe—ir — 5) ..., d'où (45) 0O<(—1}D(1) < 27.

Une dernière remarque qui nous sera utile est la suivante. Si w, et w, sont deux racines indépendantes, on ne peut avoir «3 — 0 sans avoir en même temps

an = 0; car le déterminant

ie GE 0 EL admettant la racine double —1, le mineur du premier ordre 4x doit l’ad-

mettre aussi, ce qui exige Gun = 0.

Théorème X. — Si 01, 62, ...,w,, désignent les racines simples de l'équation caractéristique d’un groupe semi-simple d'ordre r et de rang L, les entiers a;; déterminés par ces racines sont tels que :

1° Si w;, w; sont deux racines indépendantes, a; ne peut être nul sans que a; ne s’annule en même temps ;

2 Si w,, 6, &.,,..., w,, w, sont des racines indépendantes en nombre quel-

conque, on & Ce eo e Mpalpes - Glen

3 Si wi, 02, ...,w, désignent p racines indépendantes quelconques, le déterminant des entiers a;; correspondants n’est jamais nul et est compris entre Oet(—2)}r, cette dernière valeur pouvant seule être atteinte.

Etant données p racines indépendantes w,, w, ..., w», nous dirons que les p? entiers a; correspondants constituent un système d'entiers d'ordre p associé aux racines wi, &2, ..., w,. Toutes les racines obtenues en partant de uw, uw», ...,w, et effectuant dans un ordre quelconque les substitutions Si, $, ..., S, seront dites

fournies par le système d’entiers.

(1) Ki, Z. v. G., I K I

1 Apr ele 2)KuErInNG, 2° v. G; Il, p.22:

62 E. CARTAN

9. Un système d’entiers d'ordre p: a, est dit simple), si, étant donnés deux indices quelconques 4,7 de la suite 1,2,...,p, on peut trouver une série 1, %, +.., 4, Q'indices de la même suite telle que

| VA dix Az (4 g (27e) = 0.

Le système est dit composé dans le cas contraire; dans ce cas on peut, en faisant au besoin une permutation sur les nombres 14, 2, ...,p, faire en sorte que les systèmes (14,2, ..., A), (hi +1, ..., he), ..., soient simples, les a;; pour lesquels les indices ietj appartiennent à deux séries distinctes (1,2, …, k,; la +1, .…, ha), ..., étant tous nuls.

Tout système simple d'ordre p > 3 contient au moins deux sous-systèmes sim ples d'ordre p—1A%). Pour p—3 cela est évident, car des trois produits do, sd, Gsly, UN au plus peut être nul, sans quoi le système serait composé. Supposons que la proposition soit vraie pour p = 3, 4, .…, h; je dis qu'elleest vraie pour p—=h+1> 24. Supprimons en effet l'indice +1. On obtient un système d’ordre k qui peut être simple ; si cela a lieu quel que soit l'indice supprimé, la proposition est démontrée. Si le système (1,2, ..., h) est composé, on peut supposer qu'il est formé des k> sous-systèmes simples (1,2, ...,u), (Mi 1, ..., pa), .:., (Dr 1, ...,h); et danschacune des £° séries d'indices (4, 2, ....7), ..., il existe au moins un indice « tel que, a4,:::=20.Sile prez mier sous-système (1,2, ...,p,) ne comprend qu'un indice, en le supprimant, on a évidemment un sous-système (2,3,..,h+1) quiest simple. S'il comprend plusieurs indices, on peut toujours, en en supprimant un autre que «, obtenir un sous-système simple d'ordre p;,—1, ce qui donne encore manifestement un sous-système simple d'ordre —p—14. Il y a donc au moins k#>2 soussystèmes simples d'ordre À. CrONRAD:

Deux systèmes d’entiers d'ordre p, correspondant l’un Ÿ aux p racines indépendantes w,, 2, ...,w,; l'autre X' aux p racines indépendantes

Di = Mat + Mie + Emo, (? = 1,2, .….,p), sont dits équivalents, lorsque toute racine fournie par le système Ÿ est fournie. par le système X' et réciproquement F).

Si les racines wi, w,, …, w, sont fournies par le système Y', il en est de même de toutes celles fournies par le système È. I] suffit, pour le voir, de se reporter au théorème VIIT ($ 6) ; car une substitution $; revient alors à une succession de substitutions S’.

CARILLING, Ze Il p.28; (2) Cette proposition est énoncée sans démonstration par KizzinG, loc. cit., p. 24. (3) Kizune, Z. v. G., Il, p. 24.

Il en résulte que pour que les deux systèmes Y et Y! soient équivalents, il faut et } q q “{Dy 77 mMnIeco > CMAn @ ! 1 défi Cp VIS 2 ù il suffit que le système Ÿ fournisse lesracines w', w4, …., w}, qui définissent le système Y?, el que le système E' fournisse réciproquement les racines 1, 63, .., w, qui définissent le système Y.

Par exemple, si

0) —= y + di20, w! = wy == 0)

25 OMC] D

M4, 63, ..., wp Sont évidemment fournies par E, et réciproquement, e1, &2, ..., w, sont fournies par Ÿ’ puisque

DD ==. 0) 09 == Dion = 0

Si deux systèmes sont équivalents, ils sont en même temps simples ou composés. Car si le système Y par exemple est composé des deux sous-systèmes simples (1,2, ...,h)et(h+1,...,p), les racines fournies par Z sont ou de la forme May + Mas +... + Mon, Où de la forme Mm3:,0»,, +... +myw,. On peut donc supposer que 4, &;, …, w, ne dépendent que de’ w,, 63, .…, y etque 4, ...,w, D AdONOndenIIqUe de we r -.w). mais alors tous less 4; = 1,2 ,..,;h; j—=h+1,..,p) sont certainement nuls et le système YŸ est composé.

De tout cela il résulte que si on veut déterminer tous les systèmes possibles d'ordre p, il suffit de déterminer tous les systèmes simples, non équivalents d'ordre inférieur ou égal à p. Gette détermination a été faite à peu près rigoureusement par M. Killing ), et on arrive à ce résultat excessivement remarquable que /e nombre des systèmes simples non équivalents d'ordre p est fini ef ne dépasse jamais cinq.

Pour ne pas interrompre la suite des idées, nous supposerons faite cette détermination et nous allons voir quelles conséquences on en peut tirer.

40. Je vais d’abord démontrer le théorème suivant, énoncé sans démonstration par Killing ®).

Théorème XI. — Ætant donné un groupe semi-simple de rang L, on peut toujours choisir l racines indépendantes telles que le système d’entiers qui leur est associé fournisse toutes les racines de l’équation caractéristique.

Considérons d'abord p racines w,, w2, …,w, liées par une relation et une seule, nécessairement à coefficients commensurables,

Mao + M0 +. + M0 = 0,

où nous ne supposons aucun des coefficients nul. Alors il est bien clair que

(4) KizuG, Z. v. G., Il, p. 25-33.

(2) Kuue, Z. v. G., IL, p. 31.

64 E. CARTAN

Nat 0; (LR RE D)

Je dis que le système d’entiers 4;; (en étendant un peu une définition précédente) est simple ; car s’il se décomposait par exemple dans les deux systèmes simples (4,2,...,h), (h+1,..,p),. l'un des déterminants correspondants, par exemple le premier, serait nul; par suite (th. IX), les racines w,, &:, ..…., w, ne seraient pas indépendantes, ce qui n’est pas possible. Il résulte de là ($ 9) qu'on peut trouver (p—1A) des racines 1, w, …,w, fournissant un système simple ; soient &i, (2, .…., Wyp 1.

Cela étant, je dis qu'on peut trouver (p—1) racines telles que le système

d'ordre p—1A qui leur est associé fournisse les p racines uw, w,, .…., w,. En effet, je suppose démontré qu'un certain système équivalent au système simple (4, 2, .…, p—1), soit le système associé aux racines 0: els jouisse de la propriété que p—1 des racines w{, uw, .…, w,1, w, fournissent la p°, soient, pour fixer les idées, w:, w, .…. , &, 4, w,. Alors le système associé aux racines &i, 5, …., 4, w, fournira les racines 4, CR et par suite aussi w,, w,, ..…, w,. Tout revient donc à faire la vérification sui-

vante. On prend tous les systèmes simples non équivalents d'ordre p—1 qu'on a déjà déterminés ; soit (a;) (à, 3 = 1, 2, …., p—1) un de ces systèmes ; on détermine de la manière la plus générale 2(p —1) entiers 4;,, a; tels que le système d'ordre p obtenu soit simple et que le déterminant total des 4;; soit nul. On en déduit une relation entre 1, w:, ..., w,: NU + Mat, .., + Mpwy = 0.

On exclut les cas où un des coefficients m; serait nul et ceux où une des p racines se présenterait comme multiple d’une racine fournie par les p—1 autres.Il suflit alors de vérifier dans tous les autres cas que p—1 des p racines

$ Wii, (W2, ++. ; Wp fournissent la 7°.

Ces vérifications se font par des calculs entièrement analogues à ceux qui servent à déterminer tous les systèmes simples non équivalents d'ordre p, connaissant ceux d'ordre p—1. Nous les supposerons faites pour l'instant.

Cela étant, soit un groupe semi-simple de rang /. Prenons / racines indépendantes quelconques &,, w,, ..…., w,, et considérons toutes les racines qui s’en déduisent au moyen des a;. Si on obtient ainsi toutes les racines de l'équation caractéristique, le th. XI est démontré. S'il n’en est pas ainsi, soit w, une racine non obtenue. On a une égalité de la forme

EL NE PE 0 ll)

Il en résulte, d'après les considérations précédentes, qu'on peut trouver / ra-

cines indépendantes ui, uw, ..., w/ fournissant «wi, m2, ..., &, et w,. Par suite, d’après les considérations du $ 9, le système qui leur est associé fournit toutes les racines obtenues au moyen de 4, &2+, ..., y, mais fournit en outre la racine w.,. En procédant de proche en proche on voit qu'on peut supposer les / racines indépendantes «w,, 63, ., w, choisies de telle façon que le système qui leur est associé fournisse toutes les racines de l'équation caractéristique.

Nous dirons que ces { racines ainsi choisies forment un système fondamental

de racines de l'équation caractéristique.

41. Considérons alors un groupe semi-simple G de rang / et supposons que W,, @», .…, w) forment un système fondamental de racines de l’équation caractéristique relative à un certain sous-groupe y. Cherchons tous les sous-groupes invariants de G. Nous savons, d’après le th. X (II, 11), qu'un tel sous-groupe est déterminé par celles de ses transformations infinitésimales qui appartiennent aux différentes racines de l'équation caractéristique. Supposons d’abord qu’un sous: groupe invariant contienne une {ransformation du sous-groupe y, soit

EN Vf:

Alors il contiendra (YX;), (YX:), …, (YX,), c’est-à-dire l’une au moins des transformations X4f, X2f, .…., Xyf, Soit X,f. Par suite il contiendra aussi (XX) = Yif, et tous les X.f pour lesquels as <0 (d'après (YiX,) = auX.f). On en déduit que si (1, 2, …, h) est la plus petite série d'indices contenant 1(h < 1), et telle que 1, w,, …,w, donnent naissance à un système d’entiers simple, le sous-groupe invariant contiendra toutes les transformations qui appartiennent aux différentes racines nu, + Mots + ... + Myo», ainsi que toutes les transformations du sous-groupe y qui sont associées à ces racines.

On déduit de là que si Le système fondamental d’entiers a;; est simple, le groupe est simple. Si le système fondamental d’entiers a,; se décompose en deux sous-systèmes simples, par exemple (41, 2, … , h) et (h+1, .…, l), le groupe contient deux sous-groupes invariants simples échangeables entre eux M,

Nous retrouvons ainsi une deuxième démonstration du théorème IV, car à partir du $ 4, nous avons supposé uniquement que pour les groupes dont nous nous occupions, le discriminant de la forme quadratique d(e) était différent de zéro.

D'après cela, si nous supposons faite la détermination de tous les systèmes d’entiers simples non équivalents d'ordre /, nous n’aurons que peu de chose à faire pour déterminer toutes les structures de groupes simples de rang /. Il suflira

(1) Cf. KiunG, Z. v. G., Il, p. 36.

CARTAN 9

66 E. CARTAN

de prouver qu'à chaque système d’entiers trouvé correspond une structure de groupe simple et une seule. C’est ce que nous ferons dans le chapitre suivant. On arrive ainsi au résultat capital que j'énonce immédiatement :

Sion ne regarde pas comme distincts deux groupes de même structure, il existe en général quatre groupes simples de rang L. Ce nombre se réduit à 1 pour l=1, à 3 pour l—=%-.et l—3, et devient égal à 8 pour l = 4, 6, 7 et 8.

12. La partie des recherches de M. Killing qui se rapporte aux groupes simples est sans contredit la plus importante, aussi bien par le talent dont fait preuve son auteur que parles résultats auxquels il arrive. M. Killing(YWath. Ann.,t.33, p.13 sqq.) se propose la recherche de tous les groupes d'ordre » qui satisfont aux conditions suivantes. Chaque transformation infinitésimale générale fait partie d'un sousgroupe + d'ordre ! à transformations échangeables entre elles, et l'équation caractéristique relative à y admet »r—7/ racines distinctes et différentes de zéro ; de plus le groupe doit être son propre groupe dérivé ; enfin il ne doit pas admettre de transformation distinguée. Killing en déduit que / désigne précisément le rang

du groupe. On peut alors trouver 2{ racines : uw, Æuw,, .…, uw, telles que les 2/ transformations qui leur appartiennent : X;f, X1/, .… , Xif, Xyf donnent par leurs crochets (XiX:), (X2X,), …, (X/Xy), | transformations indépen-

dantes du sous-groupe y. Killing arrive ensuite à la notion des nombres entiers Aus Aus +, A, % désignant l'indice d’une racine quelconque ; il montre alors que si le déterminant des 4;; est différent de zéro (1,7 = 1, 2, .…, l), touteslesracines peuvent s'exprimer en fonctions linéaires à coefficients commensurables des J'racines «,, 63, .… , w; (p. 13-17).

M. Killing établit ensuite les conditions auxquelles doivent satisfaire les /? nombres entiers; c'est ce qui est exposé dans les $ 7 et 8 de ce chapitre. Néanmoins Killing n’a pas vu l'espèce de réciprocité qui existe entre les racines et les transformations du sous-groupe y qui leur sont associées, et en particulier le rôle joué par les entiers a;; aussi bien vis-à-vis des tranformations que j'ai appelées Y,f que vis-à-vis des racines auxquelles elles sont associées. Après avoir partagé les systèmes d'entiers en simples et composés, équivalents et non équivalents, quoique sans donner de critérium nécessaire et suffisant pour l’équivalence de deux systèmes, Killing passe à la détermination de tous les systèmes simples non équivalents (p. 23-33).

M. Killing s'occupe ensuite des groupes qui, selon notre manière de parler, possèdent un système fondamental de racines. Il montre alors, quoique d'une façon peu rigoureuse, que les crochets (X,X.) sont toujours différents de zéro dès que w,—+uw; estune racine, et que, en particulier, aucun des crochets (X,X,:) n’est

nul. [l'en déduit que le groupe est simple ou composé suivant que le système fondamental d’entiers est lui-même simple ou composé.

M. Killing cherche alors à démontrer que si un groupe est simple, il possède nécessairement un système fondamental de racines ; il démontre pour cela que s'il n’en est pas ainsi et si on prend un système particulier de / racines indépendantes, il doit y avoir au moins une racine w, non fournie par ce système et telle que (X,X,)< 0. Ilen déduit qu'on peut prendre w, pour une des { racines &4, 2, «++, ©); mais il ne démontre nullement qu'il est possible de le faire de façon à obtenir encore toutes les racines que fournissait le premier système. De plus M. Killing admet implicitement dans tous ses raisonnements les théorèmes que j'ai démontrés relativement aux systèmes équivalents (9).

M. Killing essaie, dans la troisième partie de son mémoire (t. 34, p. 87-107), de démontrer pour les groupes simples que les hypothèses faites au début sont toujours vérifiées; malheureusement ses calculs sont d’abord très longs, et ensuite il suppose toujours démontré que le sous-groupe y a toutes ses transformations échangeables entre elles lorsque le groupe est son propre groupe dérivé,

ce qui n’est pas().

(4) V. plus bas, ch. VIL $S 6.