NT

(18) higher = À,

86 E. CARTAN

(49) Dj gni = Xi Cela étant, je dis que, étant donnés trois indices positifs +, 7, #, si l'on à ke = ju = xx = À, tousles À dont les indices sont en valeur absolue et dans

un ordre quelconque les trois nombres 1, 9, #, sont égaux à 1. En effet les relations

(46) et (18) donnent kiki; = Ee

par suite 4, est égal à 1, et il en est de même de 4, Au :

Xe = Xi = ji = je = hi = ri = À.

La proposition est vraie lorsque les valeurs des indices sont positives. Si l’un des indices seulement est négatif, il en est encore de même : il suffit d'appliquer les formules (17), (18), (15), suivant que cet indice occupe la première, la deuxième ou la troisième place. On passe de la même façon aux cas de deux indices négatifs et de trois indices négatifs.

Cela étant, et + désignant un nombre positif plus grand que 2, je dis qu'on peut toujours supposer À, Au, M, égaux à 1. En effet, donnons-nous arbitrairement les transformations Xuf, Xuf, Xusf, -.., Xuwf, Ce qui détermine X,»/f, Xunf, ..., Xanf. Nous pourrons alors définir successivement X2f, Xi, X>f par

(XaXar) = Xaf, (XX) —= X»/, (XX) == Xw/,

et alors les transformations X,5/f, X;f, Xaif sont déterminées. Mais alors on a

précisément ho = in — Mn —= 1. Par suite tous les À qui contiennent deux indices 1 et 2 sont égaux à l'unité.

Je dis maintenant qu'étant donnés deux indices positifs quelconques : et j plus grands que 2, (1 7), on peut supposer Ai; = x = 1. En effet, il suffit de déterminer les transformations X/, Xyf, (4 <k;i, k=> 2) parles relations

(XaXx) = Xaf,

(XX) = Xuf, et alors les transformations X;;/, X;,/f seront déterminées. Prenons donc pour OT = in la formule 49) où lon tait AR our) k — —2, donne, combinée ensuite avec (15),

À jt — Ange == À 52’ = À jo = Anjie Il en résulte que si * et 7 désignent deux indices positifs autres que 1 et 2,

ph on a MN 1. Par suite tous les À dont l’un des indices est +1 ou —1 sont égaux à l’unité.

Enfin la formule (19) où on fait = 1, montre que tous les À sont égaux à l'unité. On à donc les formules générales

op MERS CAMTARIAMERÉE ENS ED; (XX x) = X;f + Xyf, (ae R),

Les groupes simples de rang l'qui admettent un système fondamental d’entiers du type D) ont donc tous la même structure, Comme exemple, on peut prendre dans l’espace à 2/ dimensions (A Lu, ..., dh de) :

X;rf = Lip i— Xi rx.

On à ainsi le plus grand groupe linéaire et homogène qui laisse invariante la

forme quadratique D RE mn nt PT tm me

18. Groupes simples de rang l admettant un système fondamental d’entiers du

type E). 1 = 6, 7,8. Ils sont à 78, 133 ou 248 paramètres suivant que ! — 6, 7 ou 8. Les racines et les transformations qui leur sont associées peuvent se mettre sous la forme W—0;, (vw; +uw;+u), E(v;+o;, +<o;+o,+o, +Ho,), + (w;+ Eu), Yf—Y if, ENT ff), CT ff onf), EXT+EY,P), les indices écrits étant tous distincts, et les racines w+ ZE, n’existant que dans le cas de /{ — 8. Si nous appelons d'abord X;f(i<Z;j) ou —X;f{i>>}j) la

transformation qui appartient à la racine w;—w,, puis —X;f la transformation Yf, Xixf = —Xyjÿf ——X;;f la transformation qui appartient à la racine w+ow;+o, enfin —Xiyf = X'ujf = X'ynf celle qui appartient à la racine

— (w;+w;+w;), nous avons

Lx) = Xi (Kiki) = — X jf, RÉ 2 À XaXi;x) —= 3 X nf ; (XX jun) les 3 DETTE 21 ( ( ) (4 2 [A 1 ÏÀ XX ;;n) Es 3 nl. ; (XX ju) = 3 Xl ; XX 5) = Xif — X jf, KipXige) = Xif + X jf + Xi Nous pouvons ensuite, comme nous l'avons vu pour le type A), faire en sorte que (22) XX) = Xaf.

(1) Cf. Kizuine, Z. v. G., IL, p. 42.

88 E. CARTAN

Posons alors

(23) (XX nn) = af:

On a immédiatement (24) No done

En combinant alors les deux membres de (23) successivement avec X;f, Xf, NX. 1lvient

(25) À jm À = 4, (26) À jte) ri — 8.

(27) jh = Xgrjukigns (28) À nn À gi 0), 1

Les formules (24), (25) et (26) montrent que si ja = un = ne = 1, il en sera de même de fous les À dont les indices sont, dans un ordre quelconque, les nombres 1, j, k, h. Cela étant, à désignant un indice quelconque plus grand que 3, nous pouvons toujours faire en sorte que y = gx = ls = 1 : il suffit de prendre arbitrairement les transformations X;f et de définir X23/, Xasf €t Xaof par les relations (XX) = Xinsf,

(XX 23:) — Xi , (XX wi) —= X if.

Donc, dès que trois des indices 1, 7, k, h sont égaux à 1, 2,3,ona im = 1.

Lés-formules (27) et{98); où on fait; =2,", F8; donnentralors

gr = Àyson ag VTT == 123:

Si g et h désignent deux indices quelconques plus grands que 3 (g <h), déterminons successivement Xsyf, Xaf; Xayf Par les relations (XyaX ar) = Xysnf :

(Xy5X 32) = Xnf »

(Ks2X2m) = Xignf ; alors nous aurons, pour 3 <q < h, Àpsn = go = ko = 1, ct par suite aussi Non.

De plus les formules (28) où on fait 3, k, hk —1,2,3 donnent A2 = 3 = is 4 le Donc tous les À qui contiennent à la fois les indices 2 et 3, ou qui contiennent à la fois les indices 1 et 3, sont égaux à 1; de plus um — Ag: = 1. Faisons alors dans (2) EU = 2 0 9 3; ilvient in = LL ODoncousales mad contiennent à la fois deux des indices 1, 2,3 sont égaux à 4. La formule (28), oùon fait k—1, qg—2, donne alors

et, si on suppose ? << j <h, on peut toujours faire en sorte que À soit égal à 4 ; il suffit de déterminer X;;f par la relation (XaXin) Xe (UE UE) < h).

Par suite tous les À qui contiennent l'indice 4, sont égaux à 4. La formule (28), où on fait g—=1, montre alors que tous les À, sont égaux à 1. On a donc (29) Ron) = Xf:

Les deux membres de cette relation, combinés successivement avec X;mf et X'uf, donnent les deux suivantes :

(30) (XX im) = Xif (31) (XXm) = — Xi:

Les formules (21), (22), (29), (30), (31) sont valables quel que soit le rang

[— 6,7ou8. Nous allons maintenant examiner séparément ces trois cas. I. — Le rang du groupe est 6. — Alors en posant 30, + 4 HW + O3 + ©, + DH, = 0, 3X50/ + Xuf + X2f + Xsf + à CT En D CT nm Xoof 0,

il y à à ajouter aux transformations déjà considérées, celles qui appartiennent aux

racines 3w, et —3uw,, que nous appellerons X,,$f et —X',59/. On aura alors 4] s 1 s (32) (XX 000) me 3 X00/ > (XX 00) = 3 X 5007 3 (X 560 X00) = 3X50f = No FN Xo6f + Nous pouvons toujours poser (KaX 356) = A X 00) »

ce qui peut s'écrire encore, en désignant par 17k, Auv respectivement deux permutations quelconques des indices (1, 2, 3), (4, 5, 6),

(33) Kikou) = — (AE )X 007, où (ijkkuv) est égal à +41 ouà —1, suivant que la permutation hu est

paire ou impaire.

En remplaçant dans (33) X;xf par (X:X;;x), on voit que (XX inv) er (yhiuv)X' o0f:

ce qui montre de proche en proche que la formule (33) est générale. La formule (33), combinée avec X';;f, donne

(31) L'on) = (A) of 5

cette dernière, combinée avec X',,,/, donne

CARTAN 12

90 E. CARTAN

(35) (Kg) = (A pV)X 500 3 enfin la formule (35), combinée avec X;;f, donne (36) (KoooXux) = — (Apr) Xp.

Les formules qui déterminent la structure sont alors les suivantes : ik) = (KiXyx) = Xi; (XaXx) = Xif — Xi, (Kiki) = - Xijf (XiXjw) = TR Kiki) = Riu) = 3 Xi, 1 . l (XiXo90) = — 3 Xovo/? XiXo00) — 3 Xovo/s (37) } (Kim) = Xinf (XX) = — Xi, Lonkin) = Xif € Xj5f + Xuif, XovoX 00) = — Xf— Xonf — Ka —X of —X sf — Xscf XXe) — Xa] :

XX) = —— (ik uv )X600f; (XijeXius) = (Au )X,50f) XoooXijx) = — (ka )Xiuf, XoooK ir) = (hu) Loue

IT. — Le rang du groupe est T. — Alors en posant

20, +0, + +uos +, +, +uw, +w, = 0, 2X of + Xuif + Xof + Kssf + Xif + Xl + Xs6f + Xuf = 0,

il faut encore considérer les transformations qui appartiennent aux racines

25,+w;, —(20,+uw;). Nous les appellerons X,,f,—X',.f. Nous aurons alors 2 ee 2 | (XX) — 3 Xooif, (XX soi) — — 3 Xi ; 38 4 1 1 (68) } Rite) = — 7 Xofs (Ko) = 3 Kia,

x (XooiX oi) = 2Xo + Xif.

Nous verrons ensuite de la même manière que dans le cas de {—6, peut toujours s'arranger de façon à avoir les formules

(39) ; (XijeXauv) = — — (rh vo) X Cie

et les formules analogues qui s'en déduisent. Les deux membres de (39) combinés

qu'on

alors avec X,;f donnent

ae ou : (AaiX 00e) = — X'ooi/; et de même

(XX 507) = Xooif La structure est alors définie par les formules suivantes, où les indices désignés par des lettres distinctes sont distincts, et où kkpvo désigne une permutation quelconque des nombres 1, 2, 3, 4 DD:

(XX oi = 3 Xooif, (XiXoox) = nf Xooxf ; 9 PR RAR (XàXoo:) obus 3 Xoif, (XX 60%) —= 3 X60xf , 7 " F “ Fr » $ 7/ \ / ol (40) \ (XXim) = Xxf, (XX) = — X nf;

X00:X60:) — 2X060f + X:f, XijeXijx) = Xaf, (XooëX00)) = Xijf, XX us) = — (ik pve)X of , Her) — (Ykkuve)Xo0ef ; (Ro Xix) = — (pihkuv)Xuf,

| (XyXo0;) = Xoof, (KiXoo) = — Xi, | XX) = Xif + X;jf + Xxxf, | Do X x) = (oijkkuv)X, fe.

II. — Ze rang du groupe est 8. — Alors en posant O6 + 0 + 2 + w3 +0, ++ Hu = 0, Xoof + Xuf + Xaf + Es Xsaf = 0,

il faut ajouter aux transformations déjà considérées, celles qui appartiennent aux

r'ACINCS @j — M, io, + Huy, —wù, —w;—w; Nous les appellerons respectivement Ÿ —. 7 d'age PS Rd st UN La X if, DS X/, Xoxf er Xoif FT Xxf, ST ox] = Xxif = X if .

Nous aurons alors les formules générales suivantes, où les indices peuvent prendre toutes les valeurs 0, 1, 2, ...,8, les lettres distinctes désignant des indices distincts, et 2kluvoct désignant une permutation quelconque des nombres 0, 1,92, 8:

92 E. CARTAN (XX) = (XiXyx) = Xaf, (XaXxi) = Xif — Xxf 2) . 4 1 À (XaXi;x) = SE Xiyxf ; (XX jn) — 3 X xnf ; 2 TI /{ il 1} > X:X};x) Æ 7 3 Xijnf , (XX jm) == 3 X ÿxnf ; (4) RC Et MER ES Xe Xix) — Xif + X 5 + Xrf , XXe) = Xi (BÉRENEELEE (ijkkpvoot)X;crf,

Rte) = (jupe) Koccf.

49. Groupes simples admettant un système fondamental d'entiers du type F). Ces groupes, de rang 4, ont 52 paramètres. On peut mettre les racines et les transformations qui leur sont associées sous la forme

55 has Oh EE dÿ Seb),

LE w, + wj E wy, Pie 111008.

CRT RUES RE 7

ED Nues crane MES CRETE OU 1

En appelant X;f la transformation qui appartient à la racine vw, (

He ist NE À Xaf = —Xxf celle qui appartient DO ec sed} Vi + VW}, 9

QE EMI = EN ee: enfin en remplaçant Y;f par 2Y;f, on arrive aux formules suivantes, après quelques calculs un peu longs, mais sans difficulté :

avec

à la racine X;s2f celle qui appartient à la racine

Y:Xi) — Xif, (Y:X:') = X;f, (YXix) Æ Xaf (YX;x) = Xi, * 1e ; 1 VX —- 9 X;yxnf ; DRE 5 X; nf