Y EVE YEN

xx) Æ 2Y;f, (XX x")

—— Yf + Na (XageXa'g rte)

(XXx) = 2Xxf, XoXopr) = EatreeXagre/ | X; eX ag x) nn Ce X agro] ) (42) À (XXe x) = cesse] (KXage) = ee Xaf XosXoge) — Say Nag/s | (KarXage) = 365 ageaf | (XX a'By a TE Re = EX as-of, (& À ska = SX, (Kara) = SEX agf ;

(KXix) = — Xaf,

(XXx;) —= Xaf ;

(KagXagye) = — Sarre Xaf, (KasrXogre) = — cr X ef, (KogaXage) = — 6. X.f, (XareX as 41) = — EX ef ;

(KasaXagy'e ) = — Dec, Xp, (XX agro!) RS 2,8 X arf »

(Kagakagre) = — 2 X of, (Lagsekage) = — 258 X;f, Ras) = — 256, Xsof, (Lessons) = — 2e X0,f

| nas NE M EE 1 = 2 +5 0— +4:

M SI = 0 A in 0: Yo —— Yi.

Tous ces groupes ont donc la même structure.

On peut Re qu'un tel groupe contient trois sous-groupes simples du type B) et de rang 4. On les obtient en prenant toutes les racines +w; + w,

et en outre, pour le premier, les racines uw, pour le second, les racines D, + Wg + ©, + w,

pour lesquelles <,6,8.2, — +1; pour le troisième, celles pour

lesquelles scge,s, = — 1,

20. Groupes simples admettant un système fondamental d’entiers du type G). Ces groupes sont de rang 2 et d'ordre 14.

Les racines et les transformations qui leur sont associées peuvent se mettre sous la forme

== u);, Wj — y, AL Geo = A2:

EX; = Yf— = Y;f, .

nn EN avec Ho + us = Yif + Yf+Yf = 0.

Posons Yf——3X;f, et appelons X/, —Xf les transformations qui appartiennent respectivement aux racines w; et —w,, demême X;f(i=>J) ou —X;f(i<<3j) celle qui appartient à la racine w;—w,;. Alors on arrive facilement aux formules suivantes :

| (X:Xx) = 5 Xo/, (XX%0) = — 3 Xx0f, | 3 3 XX oi) Si 3 Xoif , (XiXox) = 3 Xonf , / : .. :

(43) \ XX 50) = — D (Uk )Xoxf , (XoiXo;) == 2(174)X of, XioXo) = 3X;jf; | Xo:X Hi — — Xof, (XX 70) — Xf (XX x) = Xi, (XX) = Xif — X;jf.

Dan de 5 UN 0 sin AU = AN on suivant que les trois nombres distincts ?, y, k forment une permulation paire ou impaire des nombres 1, 2, 3).

21. On voit d'après cela qu'à tout système d'entiers simples correspond une structure simple et une seule. On peut alors énoncer le théorème suivant :

94 E. CARTAN

Théorème IE. — /ly a en général quatre structures distinctes de groupes simples de rang L, à savoir :

A) une structure d'ordre (+92), pour 1>1; B) une structure d'ordre U(Ql+A), pour 1>72; C) une structure d'ordre U(Q+A), pour 1>3 ; Dune structure d'ordre U(2l—A), pour [> #4.

Il faut ajouter une structure spéciale pour les valeurs 1 = 2, 4, 6,7, 8:

une structure d'ordre 18, pour = 6 ;

une structure d'ordre 248, pour l =38 ;

E E) une structure d'ordre 133, pour 1 = 7; E E

une structure d'ordre 52, pour | = 4 : | ,

G) une structure d'ordre A4, pour | = 2.

Ces différentes structures sont définies par les formules (3), (4), (12), (20),(37), (40), (41), (42) et (43).

22. La détermination des systèmes d'entiers simples non équivalents à été faite par M. Killing au $ 15 de son mémoire (Math. Ann., t. 33, p. 25 sqq.). Je me contenterai de signaler une seule objection qu'on peut faire à la conclusion, c'est qu'il suppose implicitement, qu'étant donné un système d’entiers simple associé aux racines 43, W), .…., wy, On peut toujours, en changeant uniquement au besoin les signes de quelques-unes de ces racines, faire en sorte que tous les entiers a;; soient négatifs ou nuls. Or il n'en est rien. Il suffit de prendre, pour = a;

du = An —

Hat" tata = the = il: Dar = Ch = + À :

D ln ne = in O7

en posant mu, Ham ot, et Yf=Yf+aYf=Yf+Y.f, on obtient un système équivalent où tous les 4;; sont égaux à —1, sauf a; = —9 et Gay — 4» == 0; c’est le système D} d'ordre 4.

M. Killing indique en outre deux systèmes spéciaux d'ordre 4 qui sont manifestement équivalents (2. v. G., Il, p. 80 et 31), comme on le voit en échangeant u1 et w3, W2 et w,.

Quant à la détermination des structures des groupes simples, M. Killing se contente de montrer qu'aux types A), B), D) correspondent des groupes simples connus depuis longtemps, à savoir le groupe projectif général de l'espace à / dimensions et les groupes projectifs d'une surface non dégénérescente du second ordre dans les espaces à 2/ et 2/—1 dimensions. Mais il ne donne pas les calculs

explicites qui permettent de montrer que ce sont les seuls, et quant aux autres

systèmes d'entiers, il ne donne que des indications vagues sur les structures qui leur correspondent (), sauf cependant pour le type ©) ©.

À part les cinq groupes spéciaux qui correspondent aux types E), F), G), on a donc quatre grandes classes de groupes simples et quatre seulement : c’est là le résultat capital des recherches de M. Killing. Mais ces quatre classes avaient déjà été indiquées par M. Lie, qui a montré depuis longtemps que le groupe projectif général à / variables, les groupes projectifs d’une surface non dégénérescente du second degré à 2 et 2/—1 variables, et enfin le groupe projectif d’un complexe linéaire à 2/—1 variables, sont des groupes simples : ce sont précisément ceux qui correspondent aux types A), B), D), C) d'ordre /.

Les conclusions de Killing sont donc importantes, non pas tant par les groupes simples nouveaux dont elles nous révèlent l'existence, que par la certitude qu'elles donnent de n'avoir affaire qu'à un nombre excessivement limité de types de groupes simples, dont les plus généraux ont déjà d’ailleurs été étudiés.

(1) V2 Kizuin6, Z. v. G., Il, p. 44-48.

CRIMINEL CG Tl,-p. 121