INTÉGRABLE

4. Considérons un groupe G d'ordre > qui ne soit ni intégrable ni semi-simple. Alors il contient au moins un sous-groupe invariant intégrable. Supposons que y et g' soient deux tels sous-groupes invariants intégrables. L'ensemble des transformations appartenant soit à g, soit à g', forme alors un sous-groupe invariant qui est manifestement intégrable. Cela nous montre l'existence d’un certain sousgroupe invariant intégrable T qui contient tous les sous-groupes invariants intégrables de G. Nous appelleronsT le plus grand sous-groupe invariant intégrable de G.

Au sous-groupe invariant T est associé un groupe g isomorphe mériédrique à G(IL, 4) ; si T est d'ordre r—m, g est d'ordre m; à la transformation identique dans g correspond dans G le sous-groupe invariant l. Le groupe q est semisimple ; car s’il n’en était pas ainsi, il admettrait au moins un sous-groupe invariant intégrable g'; à g' correspondrait dans G un sous-groupe invariant G’; et comme les groupes dérivés successifs de g' finissent par se réduire à la transformation identique, les groupes dérivés successifs de G' finiraient par se réduire à Tr, c’està-dire aussi à la transformation identique. Le sous-groupe T de G serait donc contenu dans un sous-groupe invariant intégrable plus grand G', ce qui est impossible.

Théorème I. — Étant donné un groupe G non intégrable, tous les sous-groupes invariants intégrables de G sont contenus dans un certain sous-groupe invariant intégrable T. À T est associé un groupe qg isomorphe à G et semi-simple.

La propriété fondamentale d'un groupe semi-simple de se décomposer en sous-groupes invariants simples montre la grande importance de ce théorème, en

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particulier pour l'intégration des systèmes d'équations aux dérivées partielles qui admettent un groupe fini et continu donné: les systèmes d'équations différentielles à groupes simples auxquels se réduit le système (abstraction faite des quadra-

tures) sont indépendants les uns des autres.

2. Soit toujours G un groupe non intégrable d'ordre > défini par les » transformations infinitésimales indépendantes X;/f, X:f, …, X,f. Supposons que son plus grand sous-groupe invariant intégrable T soit défini par les r—1m transformations infinitésimales indépendantes

Ca Xaf + ok of + + X fs GEMINI Son).

Alors, si nous appelons g le plus grand groupe semi-simple isomorphe à G, la transformation eX1f + X2f + ..+e,X,f pourra être regardée indifféremment comme une transformation de G ou une transformation de q: dans ce dernier cas elle ne sera pas distincte de la transformation

ir —m rm

T'ES s D MCE RAC D 17 NE =

(= Où 4, À «… À m désignent des constantes arbitraires. Cela étant, soit À le nombre des racines identiquement nulles de l'équation

caractéristique de G, et soit /, le rang du groupe g. Soit EXaf + eXaf +... + e,X,f

une transformation infinitésimale générale de G, c’est-à-dire telle que l'équation caractéristique relative à cette transformation admette # racines nulles seulement. Elle fait partie d’un sous-groupe y de rang zéro et d'ordre k£. Mettons le groupe G sous la forme réduite relative à ce sous-groupe y. Si ui, uw, …, w, désignent les racines distinctes, différentes de zéro de l'équation caractéristique relative à y, à chacune de ces racines, w, par exemple, appartiennent m”, transformations infinitésimales indépendantes Xuf, Xuf, Xam,f ; m, désignant l’ordre de multiplicité de la racine w,. Enfin à la racine zéro appartiennent les Æ transformations Xo1fs +. Xoxf AU SOUS-groupe +.

Si nous nous reportons au théorème X du Chapitre IT (S 11), nous voyons que le sous-groupe invariant l est déterminé par celles de ses transformations infinitésimales qui appartiennent aux différentes racines 0, w,, 2, .…., w, de l’équation caractéristique. Il en résulte que nous pouvons obtenir le groupe g en prenant parmi les transformations qui appartiennent à chaque racine celles qui ne font pas partie de T. En particulier, si nous nous rappelons (Il, 4) que le déterminant Caractéristique de G contient en facteur le déterminant caractéristique

de g, nous voyons que latransformationinfinitésimale e,X;f + ... + XIE nous sommes partis, considérée comme faisant partie de g, estune transformation générale de g. Il en résulte que le sous-groupe y, considéré comme appartenant à g, estle plus grand sous-groupe de rang zéro dont fasse partie eX3f +. +e,X,f et par suite que le groupe y se trouve mis sous la forme réduite relative à la transformation générale eXif + ... + e,X,f.

Les racines de l'équation caractéristique d’un groupe semi-simple étant toutes simples (sauf la racine zéro), il en résulte qu'à chaque racine w,<0 multiple d'ordre m, de l'équation caractéristique de G appartiennent au moins m,—1 transformations infinitésimales indépendantes de F. Nous dirons que la racine w, est principale si les transformations qui lui appartiennent ne font pas toutes partie de r, et qu'elle est secondaire si toutes les transformations qui lui appartiennent font partie de (1.

Etant donnée une racine principale w,, soit %,f une transformation infinitésimale commune à y età l, et supposons que Xhuf, ..., Xsn af fassent partie de T, mais non X,»f; nous supposons, Comme nous pouvons toujours le faire,

que (Lo X ai) == OX sf + d, ch) ed caf ce 200 axe

RSR EPA REPETIME Si on fait dans cette formule ?—#, ïl faut que le second membre fasse partie de r, ce qui nécessite w,(9 — 0.

Si donc w, est une racine principale, w, s’annule pour toute transformation de y qui fait partie en même temps de T. Cela lient au fond à ce que w, est racine de l'équation caractéristique de g et par suite ne dépend pas des paramètres qui définissent les transformations de Tr. |

3. Supposons que w, soit une racine principale de l'équation caractéristique de G; alors —"w, est aussi une racine principale. Parmi les transformations qui appartiennent à w, età —-w,, on en peut choisir deux, soit %,f et #'f, qui ne font pas partie de F, et par suite qui peuvent être regardées comme des transformations infinitésimales de 4. D’après la théorie des groupes semi-simples, si

on pose (4) (%1%61) = Vif,

on peut toujours faire en sorte qu'on ait (2) (Vi) = — 2Hif, (VX) = 2%1f, (mod. Tr),

(4) M. KiuG, Z. v. G., II, p. 80, distingue de même les « Hauptwurzeln » et les « Nebenwurzeln ».

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le signe = signifiant que les seconds membres sont respectivement —2%;f, 2%'if, à une transformation de T près.

Nous allons démontrer qu'on peut toujours choisir %f et %if de façon que les équations (2) soient vraies d’une façon absolue, c’est-à-dire de façon que Vif, Rif, M'if forment un sous-groupe simple à trois paramètres de G.

Supposons d'abord pour cela que le sous-groupe invariant l ait ses lransformations toutes échangeables entre elles. Supposons que hw, soit une racine de l’équation caractéristique, À étant un entier positif,et qu'aucune des quantités (4 +1)w,, (A + 2)ui, …, ne soit racine. Si k>>1, toutes les transformations qui appartiennent à la racine hw, font partie de FT, si A —1, il y en aura m—1 d'indépendantes. Dans tous les cas(sauf m, — mi = 1 où le problème serait résolu), il y aura au moins une transformation appartenant à ho, et faisant partie de T, soit Zuf, telle qu’on ait

(3) (Yi2m) = — 2hZnf.

Nous dirons que Z,,f est du premier genre par rapport à Y,f.

L'identité de Jacobi relative à if, Xif et Zmf montre alors que (%',/u) est différent de zéro, et que par suite on peut poser

(4) (MZ) = 2h21); (GiZn-1,1) in Lin.

De plus les deux membres de (4), combinés avec Y;f, montrentque (Y,Z;: 1) est égal à —2{}—1)Z; ;1f, à un crochet près de deux transformations de T,

c’est-à-dire d’une façon absolue, puisque les transformations de T sont supposées échangeables entre elles. On a donc

(à) A (ZE) En continuant ainsi, on arrive à constater l'existence de 2h +1 transfor- MAUONS Zi, Zi fon - <> Zaifa Zgli . Zi de LD, télés que l'ont

(6) (GiZa) = (h + 1)Zi nf, (Bai) = —(R—i+ AZ, (YiZa) = — DZaf, (à — 0, = 1e CSI == h).

I n’y a alors certainement pas de racine de laforme —(h + 1) w,, —(h + 2)w,, …,

car, réciproquement, on en conclurait l'existence de la racine (4 + 1) «. Supposons qu’en enlevant cette série de transformations de T, il y ait encore des transformations du premier genre appartenant à la racine } w,, mais plus aux racines (h2 + 1) oi, (k, + 2u, …., (ho << h). Alors, si M <h, et si An» est une transformation du premier genre de F distincte de Z,4f, nous pourrons,

en lui ajoutant au besoin ÀZ;,f, où À est une constante convenable, faire en

sorte que (X1Z»,2) 0;

Nous en déduirons alors de la même façon que tout à l’heure l'existence d’une

nouvelle série de transformations du premier genre Zppf, Zn2fs , Znof telles que .

(7) (122) <> (lo ne d)Zi af, (BiZi1,2) NE (lo — 1 + 1)Zf, (YiZ2) be 212, (a —= 0, LE il …. AE h),

et ainsi de suite, tant qu'on n'aura pas épuisé les transformations du premier genre de T qui appartiennent aux différentes racines Æ kw, = (4 — 1 &)), …., + où, 0. Supposons que nous ayons ainsi » séries de transformations, à chacune desquelles correspondra un nombre entier positif M = h,h,, hs, .…, h.

Supposons maintenant qu’à la racine kw, appartiennent encore des transformations de l, mais non à (4 + 1) w1, .…, (k < h). Soit en particulier U,f une telle transformation :

(8) MiUn) = — 2'Urf + Manif + half + 2 + lnlnnf. U,f sera dite du second genre par rapport à Y,f. Nous aurons, si # < h, (ViUn') = PaZn'4,1f + Pa2n'41,9f + RS DaAni es, SL:

les coeflicients »; étant certainement nuls,si << NM+1. Mais alors en prenant

Uf+ Zynf +... au lieu de U,f, on aura (MU) — 0. ee On en déduit l'existence de transformations du second genre U:1f, ..., U»f telles que QU) = (K + QU, De D ; (ah)... (i+i+D,, à |)" : (ass À 7: …., En en (9) ea Cu) .. (h+i+t) , J;) = — AU, A CN 1...

| CE) RE AUS PRO 2e PA Cela étant, à la racine —(h'+ 1), n'appartient certainement pas de trans-

formation du second genre, sinon il en résulterait une transformation du second genre pour la racine (k' +1).

Or nous avons Cu + h) ... Cu—h+A1),,,

RIT) = 24 + 1) BU») + M TIC Er à REIN VE (Li Zn) +

Il en résulte que l’on a, soit M— 0, soit h < 4, c’est-à-dire, soit k = 0, soit A—h:; demême A—0 ou =}, etc... Les constantes À qui ne sont pas nulles ne peuvent donc être que celles pour lesquelles l’entier h correspondant est égal à #’. Soit À,..-Æ0, avec = h; =... — k'. On aura

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alors (CH 10e) = 2NU»f + A2 paf + — (M (XU»')) == CAE AE)

— (Xi (RIU-»)) + QU nf — AZ y ef — ...

Mais si on remarque que (%iU») ne dépend pas des transformations La TonvoivquiRLiaudraie