CREER RENE
ce qui est impossible. Donc aucune des transformations de T qui appartiennent aux différentes racines 0, Huy, w,, …, n’est du second genre par rapport à Yif; elles sont toutes du premier genre W,
Cela étant, on aura des égalités de la forme MG :) = — 2Hif + hi aif + oZa of + °°" + n/a nfà (Mai) = 261 + pal if + Bof ur af:
En exprimant que
MM )) = YIY:) = 0, on trouve alors, en tenant compte des formules (7), Cu + A) + bof + +0) + 126, à + + Uni + D) + )L0, nf = 0, et comme les transformations Z,,f, Zo2f, -.., Zonf Sont indépendantes, il en résulte
(11) MERE =" =), Eu 0.
On en déduit facilement À 5 À nm be C7 me Er re %) = —2%if, DRE Ve: Je ÿ | 7 Ge Zi: pci œ:) = 2#/f.
De plus, pi, 92, ..., On, Si, 52, ..., © désignant des constantes quelconques, on à (Bi Horn + Hpn/in Mi+ nait + on an) = Yf—u+)(oi+oi)Zoif—...
Il en résulte que si on prend
M ue 2 À ———— 02 TD = ———— ; * On + In = ——
hihi +1)" MEURT ET) 4 F F7 hls +1) i et si on remarque que les transformations de l' sont échangeables entre elles, les trois transformations infinitésimales
Qi + 01 —
(1) Cf. KizuG, Z. v. G., LL, p: 80.
SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS 103 À fol — 2 — nf if + BiZuf +: + PnZan] ; Dif + Zaf + + on ssnf forment un sous-groupe simple à trois paramètres \).
On voit de plus qu'on peut choisir arbitrairement la transformation %,f par exemple ; en outre la transformation Y,f qui fait partie du sous-groupe est indépendante du choix de %f.
Passons maintenant au cas général, où l est un sous-groupe intégrable quelconque. Soit l, son groupe dérivé: c'est un sous-groupe invariant de G. À ce sous-groupe invariant est associé un groupe isomorphe à G dont le plus grand sous-groupe invariant intégrable a ses transformations échangeables entre elles. On peut donc supposer choisies les transformations Y,f, %f, X,f, de telle fa-
çon que (%:)4: = Yif,
(Midi) = — 2Vaf, (VW) = 2%f (mod. Fr).
Les transformations Yif, Mif, X1f jointes à l, forment alors un sous-groupe de G. Si alors Fr, est le groupe dérivé de F,, on voit qu'on peut supposer encore
(MiRi) = Yif,
(VX) = — 20f, (VL,) = 2%:/, (mod. r;), et ainsi de suite jusqu'à ce que l’un des groupes dérivés successifs de T ait ses transformations échangeables entre elles, ce qui finira certainement par arriver, puisque T est intégrable.
On voit donc qu’à {oute racine principale w, de l’équation caractéristique, on peut faire correspondre un sous-groupe simple à trois paramètres COR OT Cr RE oi %f appartenant à la racine w,, %1f à la racine —"w,, et Y,if au sousgroupe y. De plus %f par exemple peut être prise arbitrairement parmi les transformations qui appartiennent à la racine w, et qui ne font pas partie de Tr. Si nous remarquons qu'un groupe intégrable ne peut contenir aucun sousgroupe simple, nous obtenons le théorème de M. Engel ®:
(1) Les groupes simples à trois paramètres ont été appelés par M. Excez « Kegelschnittgruppen » (Leipz. Ber., 1887, p. 95), expression qui a été adoptée par M. KiunG et abandonnée depuis.
(2) Ce théorème a été énoncé pour la première fois par M. Excer, Leipziger Berichte, 1887, p. 95 sqq., mais avec une démonstration que lui-même a reconnue manquer de rigueur. J'ai annoncé, C. R., 1893, t. 116, p. 184 sqq., que j'en avais trouvé une démonstration rigoureuse, qui est celle du texte. M. Excez, qui à ce moment avait en sa possession une autre démonstration, l’a publiée dans les Leipziger Berichte, 1893, p. 360 sqq.
104 E. CARTAN
Théorème II. — La condilion nécessaire el suffisante pour qu'un groupe soit in-
tégrable est qu'il ne contienne aucun sous-groupe simple à trois paramètres.
4. Soit w, une racine principale ; considérons un sous-groupe simple à trois paramètres associé à celte racine : Vif, %f,%if, ces transformations infinitésimales satisfaisant aux relations (12). Soit w, une racine quelconque, principale ou secondaire, nulle ou non, et soit an la valeur que prend cette racine pour la transformation Y,f du sous-groupe y (ai = —2) Si w,+hu, est racine, maisnon w,+(h+1lj, w,+(h+2)o,, …; demême w,—w,, ontrouve, en répétant le raisonnement du paragraphe précédent, que l'existence d’une transformation du premier genre appartenant à w,+hw, entraine celle d’une série de transformations du premier genre appartenant respectivement à
wo, + (k— 1e, …., te D, — UW, &, —h 01":
de plus, pour la transformation Y,f du sous-groupe y, on a (o, + wi) + (w, — Loi) = 0, c'est-à-dire (13) An = h—h.
Ou voit de la même façon qu'il ne peut y avoir aucune transformation du deuxième genre relativement à Y,f ; autrement dit, pour employer une expression de M. Weierstrass, le déterminant caractéristique relatif à Y,f n’admet que des diviseurs élémentaires du premier degré. Nous pouvons de plus énoncer le théorème
suivant ( :
Theorème IL. — À l’ensemble de deux racines, l’une principale w;, l’autre secondaire ou principale w,, est associé un nombre entier a, qui jouit de la propriété suivante : w,+ au; est encore racine ; de plus s’il y a n transformations infinitésimales indépendantes appartenant à la racine w,+ hw;, ùly en a également à indépendantes appartenant à la racine wW,+(d;— ho; et au moins n appartenant aux racines de la forme w, + muw;, pour lesquelles entier m est compris entre h et a; —h.
En particulier, si la racine w, est principale, on retombe sur les entiers qui ont joué un si grand rôle dans la théorie des groupes semi-simples.
De la même façon que pour les groupes semi-simples (IV, 6), nous verrons que si w; et w; sont deux racines principales, et w, la racine principale
