AD

(4) Cf. Kizue, Z. v. G., IL, p. 13-16.

on à, quel que soit l'indice «, lr = Cr UPRUPYE Autrement dit, si Yÿf, Yf, Yf sont trois transformations infinitésimales du

sous-groupe y, respectivement associées aux racines Dj, Ox = + Gjj0;, on à

Vif = Yf + aY;f + Uf, Uf désignant une transformation distinguée du groupe, qui peut d’ailleurs être identiquement nulle. Autrement dit, d’une façon générale, pour que p racines principales soient indépendantes, il faut et il suffit que les p transformations du sous-

groupe y qui leur sont associées soient indépendantes, à une transformation distinquée pres.

5. Cette dernière propriété va nous permettre de démontrer que si G est le premier groupe dérivé de G, le plus grand sous-groupe invariant intégrable de G: est de rang zéro (),

D'une manière générale, si G' est un sous-groupe invariant de G, T le plus grand sous-groupe invariant intégrable de G, à T sont associés deux groupes 9, g' isomorphes respectivement à G et à G’; g' est un sous-groupe invariant de 9, et comme g est semi-simple, il en est de même de g' (IV, 2). Donc /e sous-groupe commun à Get à T est le plus grand sous-groupe invariant intégrable de G'.

Cela étant, le plus grand sous-groupe invariant intégrable de G est le sousgroupe commun à G1 et à l'; appelons-le FT, : c’est encore un sous-groupe invariant de G. Considérons celles des transformations infinitésimales de T, qui appartiennent au sous-groupe y. Elles peuvent êre obtenues, soit, 1°, en combinant deux transformations de 7 ; soit, 20, en combinant deux transformations infinitésimales appartenant respectivement à deux racines égales et de signes contraires, l’une au moins de ces transformations faisant partie de T ; soit, 3°, au moyen d’une combinaison linéaire des crochets (4%/), où %,/, %if sont les deux transformations qui forment avec Y;f le sous-groupe simple à trois paramètres associé à la racine principale w;; soit enfin, 4°, au moyen d’une combinaison linéaire de toutes ces transformations-là. Or, en vertu du corollaire du théorème XIT (chap. IT), l’équation caractéristique relative à une transformation du groupe dérivé de y a toutes ses racines nulles. Il en est de même de celle qui est relative à une transformation du groupe dérivé de l, puisque (HI, 2) le groupe dérivé d’un groupe intégrable est de rang zéro. Quant à une transformation de y qui proviendrait d’un crochet (4,%/), où %/f appartient à T, mais non %;f, d’après une remarque du

(41) Cette proposition est énoncée par M. KiuG, Z. v. G., IV, p. 187.

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paragraphe 2, la racine principale w; s'annule pour cette transformation, par suite aussi (II, 43) toutes les autres racines de l'équation caractéristique. Le paragraphe précédent montre de plus qu'une combinaison linéaire des Y;f associées aux racines principales ne peut faire partie de T sans être une transformation distinguée, c'est-à-dire encore sans que l'équation caractéristique qui lui est relative n'ait toutes ses racines nulles. Enfin, en vertu des propriétés de l'équation caractéristique relative au sous-groupe y, l'équation caractéristique relative à une combinaison linéaire quelconque des {ransformations que nous venons de considérer a toutes ses racines nulles. Autrement dit, l’équation relative au sous-groupe commun à y et à T, a toutes ses racines nulles.

Cela étant, nous pouvons toujours choisir » transformations infinitésimales indépendantes de G: X;f, X2f,..., X,f, de telle façon que chacune d'elles appartienne à une racine déterminée de l'équation caractéristique relative au sousgroupe y, que de plus X;4:f, ..., X,f soient r—n transformations indépendantes de li que Kia Res 7 NY OMSOICN ET SITAN SE formations infinitésimales indépendantes de G, et enfin que X;f,...,X,f, Xysaf, ..., X,f Soient r+m—n transformations indépendantes de T, en supposant que 7—n, r—m, r+m—n soient les ordres respectifs de T;, G, r. Enfin nous appellerons w; la racine à laquelle appartient X;f, w; étant nul si X;f fait partie de +.

Je dis alors que le déterminant caractéristique de G ne dépend que de Ets 02...) Ems Empty cs En, leS € définissant toujours la transformation infinitésimale générale eX;f+...+e,X,f de G; autrement dit le déterminant caractéristique ne dépend que des formes linéaires des 2 qui, égalées à zéro, définissent r,. En effet, tous les coeflicients Ÿ{e) peuvent s'exprimer au moyen des quantités

ES ) > à à W(e) = Hate +: CasCaganalagnons + ++ Casasays avec 2s indices de sommation «,,.. , «, À,,...,X, indépendants les uns des autres (ce sont précisément les sommes des puissances s* des racines de l'équation

EXO Q , . = e Q x caractéristique). Dans l'expression Wi(e) le coefficient de e,, lag ve Ca, St, à un facteur numérique près, qui est le nombre des permutations distinctes des s indices di, de, ..., &, la quantité

d Cap MACapnphg + + » Capa DOCS

les s indices de sommation étant indépendants. Je dis que, dès que l’un des indices M, ,..., 0, à l’une des valeurs n+1, n+,...,1r, ce coefficient est nul. En effet, d'abord pour que le produit ©, ... Ga, Soit différent de zéro,

il faut que

De are ox —— Vi Dos Eu uw, = Lier EE Da se W,, — (OUR

ce qui exige

Supposons d'abord qu'on ait uw, = w,, = ..=0, — 0, c'est-à-dire que les transformations X,,/, X2,/, ..., X,f fassent toutes partie de y. Alors pour avoir le coefficient de e,6,,...e,, il suffit de prendre l'équation caractéristique relative au sous-groupe y; or le premier membre de cette équation se décompose en un produit de facteurs linéaires qui ne contiennent, d’après ce que nous avons vu plus haut, aucune des quantités exi4, €nie, ..., ep. Si donc l’un des indices M, Le, ...,% à l'une des valeurs n+1, n<+9,...,7r, le coefficient de PA 2 est oul.

> 2] TS OON

Supposons maintenant que les racines m,,, War ses Wa, NE soient pas toutes

nulles, par exemple w, Æ 0, et que de plus l’un des indices «,...,x soit plus grand que », avec toujours la condition

Wa, Wagrh et HU, = 0.

Je dis que la somme S — 2x, + + + Conçu étendue à toutes les valeurs de l'indice À, pour lesquelles w,, a la même valeur, w; par exemple, est nulle. Cela est évident pour s—1. Je suppose que ce soit vrai pour 1,2, 3, ...,s—1. On a, d’après les identités qui relient les constantes c,

Se > Caymna ++: Ca ( 2 Cairn )

ce Dhs ee Cox Cas AM TT DIT Ve Pr Cap ohne CP ne La somme quiest entre parenthèses dans le second membre est nulle par hypothèse, car elle se rapporte à une valeur de s moindre d’une unité et l’un au moins des indices ,...,% 2, 0 est plus grand que n. Donc dans la somme considérée on

peut échanger %,, et a. De même on pourra échanger «, , et *,, et ainsi de suite.

Finalement on a

S— Droles DOC EU la sommation par rapport à l'indice À, étant la même que dans la somme primitive, ce qui peut encore s'obtenir en étendant la sommation à toutes les valeurs de X pour lesquelles w,, = w,, +w,, = w;+w,. Nous voyons donc que la somme $S ne change pas si on remplace les valeurs de À, pour lesquelles ù,, 0% par celles pour lesquelles = Wi + Was. Si donc w;+uw,, n'est pas racine, la

somme est nulle ; il en sera de même si w;+uw,, est racine, mais non

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w;,+2w,, el ainsi de suite. Comme w, 0, on voit qu'on a toujours Cine Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Théorème IV. — Le déterminant caractéristique d'un groupe G d'ordre r, dont la transformation infinitésimale la plus généraleest eXif+eXf+...+exX,f, ne dépend que des formes linéaires des e qui, égalées à zéro, définissent le sous-groupe invariant T, commun au groupe dérivé G et au plus grand sous-groupe invariant intégrable T de G.