Ce théorème met en évidence le théorème suivant
Théorème V. — Si G désigne le groupe dérivé d’un groupe quelconque G, le plus grand sous-groupe invariant intégrable de G, est de rang zéro. De plus le rang de G, est égal au rang du plus grand groupe semi-simple isomorphe à G. Ce rang est le même pour tous les groupes dérivés successifs de G.
En effet, le plus grand sous-groupe invariant intégrable 1, de G, étant le sousgroupe commun à G et au plus grand sous-groupe invariant intégrable T de G, si dans le déterminant caractéristique de G on annule les formes linéaires des e qui définissent T,, on obtient simplement une puissance de w, d’après le théorème [V, ce qui montre bien (IE, 4, th. IT) que li est de rang zéro. De plus le déterminant caractéristique de G s'obtient en annulant les formes linéaires des e qui, égalées à zéro, définissent G1, c’est-à-dire ne dépend que des formes linéaires des e qui, égalées à zéro, définissent T. Avec les notations du paragraphe précédent, ce déterminant caractéristique ne dépend quede ey1, 6m», ..., 2. Gest de plus un invariant du groupe adjoint de G, en particulier des transformations infinitésimales ie. Re Pre
Ven IN IN DE 5 D Ho 5 D Oe / Éne— = CHR UE î = Ci iCi, MA; JL Êkye CiCi, M1, de; mL jm MAIRE mA j=n + A1
e . 0 ebe + CE 0 . cn À .
C'est donc aussi un invariant des transformations
MH A; cn à EUR > ei, HAE (RMS en):
ùj “:
c’est-à-dire du groupe adjoint du plus grand groupe semi-simple 4 isomorphe à G. Le rang de G, est donc au plus égal au nombre des invariants de ce groupe, c'est-
(1) Cf. KizunG, Z. v. G., IV, p. 173-180, où des considérations analogues sont développées.
à-dire au rang du groupe g. Comme d'autre part g est aussi isomorphe à G et que par suite (IL, 5) le rang de G1 est au moins égal au rang de 9, il en résulte que ces deux rangs sont égaux, ce qui démontre la deuxième partie du théorème. La dernière partie est évidente.
Le théorème V donne une condition nécessaire pour qu’un groupe puisse être considéré comme le groupe dérivé d’un autre groupe ; mais rien ne prouve qu’elle soit suflisante, et il est probable qu’elle ne l'est pas.
7. Le théorème IV va nous donner un moyen extrêmement simple pour trouver le plus grand sous-groupe invariant intégrable F d’un groupe donné G dont on connaît les constantes, c.. Supposons encore que Xyy4f, Xmiof, ..., Xaf, Des. 0 cradotnissent lé egroupendérivé. Gr, seétriquer MD X; 7: 1 X,f, Xu:4f, ..., X,f définissent le plus grand sous-groupe invariant intégrable T. Si nous nous reportons aux théorèmes énoncés dans le Chapitre LIT ($5), nous voyons que les équations QUE d; QE db; QUE
— = + — = I — EE 0 Jess dents de» den de
définissent un sous-groupe invariant intégrable de G, c’est-à-dire entraînent au moins comme conséquence les équations
(15) Emi = Emp2 ose = On = 0.
04 04; : 3 RS ont identiquement nulles en vertu du En de
théorème IV; donc les équations (14) se réduisent à n—1m au plus ; comme
Or les dérivées partielles
: ; Se dY: J .
elles doivent entrainer (15), il faut que = » ++) soient n—m formes con E1 Cr
:, €». Autrement dit, on a
linéaires indépendantes de em}4, Emya, ..
l(e) = fes, C2, .…..) On) nie CET Cm+23 DO Us) Enhs et les équations (14) sont identiques aux équations (15), c'est-à-dire définissent le plus grand sous-groupe invariant intégrable Tr.
Théorème VI— Si eXif + eX2f +... +e,X,f désigne la transformation infinitésimale la plus générale d'un groupe G d'ordre r, si de plus les transformations infinitésimales du groupe dérivé G de G se déduisent toutes linéairement des 7 transformations indépendantes anXif+apX2f +... +onXif, (i = 1,2, ..., 1),
les équations
110 E. CARTAN
définissent le plus grand sous-groupe invariant intégrable T de G; le) désigne ici
le coefficient de w'? dans l'équation caractéristique de G.
Car si, en faisant une substitution linéaire quelconque sur les €, an, ..., 4
deviennent 1,...,0,, et si d(e) devient W'{e'), on a
