LE" DE

re SEA (= ARIANE Tr) € nl à de!

fi P—41

8. Conservons toujours les mêmes notations, et supposons que chacune des transformations infinitésimales Xif, ...,X,f appartienne à une racine de l'équation caractéristique relative à un sous-groupe y déterminé. En particulier les m transformations X;f,...,X,f qui ne font partie ni de G, ni de l appartiennent au sous-groupe y. L'équation caractéristique de G ne dépendant que de 2,6, ..., e», on peut, pour avoir son premier membre, supposer er =. —e, =0. Ona alors

ù CiCi,m41,m41 We. ù ; CiCi,n, m +1 » CiCi,nt4n41 D... D Cili,r,n41

1m +1 = mA (| 1—= 1

0 en (— IN

> Cilismpiin eo... ) CiCi,n, n— vw ; jets, NH A; re ste lone Cilirr — ©

m1 im 1 A 21

Le premier facteur ne dépend que de em, ..…, e,; C’est le déterminant caractéristique du plus grand groupe semi-simple 4 isomorphe à G. Considérons le dernier facteur. Soient w,,, 4, …, ù, les racines principales de l'équation caractéristique relative à y. Latransformation X,,,f par exemple appartient à une certaine racine w,,,. Considérons toutes les racines qui sont de la forme Ont Pie, Æ Patte, + ee + PyDa les o étant des constantes (nécessairement des nombres commensurables). Soient X,,1f, X»2f,.…,X,f toutes les transformations de l, qui appartiennent à ces différentes racines. Il est bien clair que la famille de transformations 6, 4Xn41f + EnroXn of + + ewXsf reste invariante par les transformations Xif, .…., Xhf, Xmiaf, .…, Xyf, qui appartiennent toutes à des racines de la forme ou, + … + 5,64, Par conséquent A(w,e) contient en facteur le déterminant

ten ==

AC NE NA UNSS PiCi,n',n+1 st 1 (A7) das

= In

\ d CiCi, Nid) no eses ce \ Cilin',n — 0 Lt | i—1

Si w,0 désigne la valeur de la racine w, pour la transformation Xÿf du

SOUS ETOUDE Yu 12, ..*x, M), on a

Wn-+ 40 ee Wy+ 00 NS ot), (à = 4, 2, ORORCIE) m),

Dee \ Es “É EE = "\ ES 4 « L] puisque w, 0 = uw, =... = wa = 0. On peut par conséquent supposer qu'on a des relations de la forme

(18) RXuss) = GnaOX nef + > Gin n+eXn+of

GA M pl NN).

Cela étant, soit eiXif + eXof + ... + EmXmf + Em+iX mal + + EnNnf une transformation infinitésimale arbitraire. Elle fait partie d’un certain sousgroupe y. On peut alors trouver m(r—n) constantes «;z telles que SEL, ol LL .. ox) it — 1720. m). fasse partie de y. Alors chaque racine w de l'équation caractéristique relative à aX,f + ..+e,X,f est

de la forme eo) + 6602) + + L e,00) + w0),

w) étant la même racine relative à Xf + œniaXniaf +. + aX,f, et wl)

étant la même racine relative à en ,4Xmaf + ... + e,X,f — Dent nf. Or 1j

en particulier pour les racines. qui proviennent de Ô(w,e), w® s'obtient en faisant

dns eee — "7, CM D LCR = Ge C0 Cest a dire que w est la constante que nous avons appelée w,,, tout-à-l’heure. Quant à w(), on l’obtient en faisant e — & —... — e, — 0. En définitive toute racine

du polynome ô{(w,e) est de la forme W(En-14 ….) a) = Eatoy al) ie Exwy + 10) Dm OC 2 ÉD ae :

autrement dit, on a

d(w, Ei; C2, ... Cm .. En) —= à(u = CROP) Ed rie — mOn 10), 0, 0, …. NE ee Cu Finalement on peut énoncer le théorème suivant : Théorème VII). — Pour passer de l’équation caractéristique du groupe dé-

(1) Ce théorème a été énoncé par moi dans une Note, C. R., t. 116, p. 785.

112 E. CARTAN

rivé G d’un groupe G à l'équation caractéristique de G, il suffit de remplacer, dans chaque facteur irréductible du premier membre, w par w plus une forme linéaire de CR Ce

Si /, désigne le rang du groupe dérivé G et À le nombre des formes linéaires indépendantes qui s’introduisent ainsi dans le déterminant caractéristique de G, le rang / du groupe G est visiblement égal à +2. Or si on annule dans le déterminant caractéristique de G les quantités 6,44, 632, ..., », ON obtient à w”*”* près le déterminant caractéristique de T, et on voit alors que le

rang de l est précisément À.

Théorème VIII. — Ze rang L d’un groupe G est égal au rang X de son plus grand sous-groupe invariant intégrable T augmenté du rang li du plus grand groupe semi-simple q qui soi isomorphe à G.

Ce théorème complète le théorème V. Si /; désigne le rang du © groupe dérivé G; de G, ona

Ph VER

9. Considérons un groupe G d'ordre > défini par les » transformations infinitésimales indépendantes Xif, X:f, .…., X,f, et supposons que X,4f, …., X,f définissent le plus grand sous-groupe invariant intégrable FT de G. Supposons que Xif, Xof, , Xnf, Xmpafs ce Xmpxf (R KM, m + k L r) définissent un sous-groupe invariant G de G; alors X,4f, ..., Xh.xf en définissent le plus grand sous-groupe invariant intégrable I”. Nous savons ($ 7) que la forme quadratique Y(e) relative au groupe G est de la forme

da(e) =. fes C2, C7) Sin P(Em+4 ……) er).

D'après un théorème du chapitre IIL, les équations

(19) ae 5oo one

définissent un sous-groupe invariant G de G, et les transformations communes à

1 età G forment un sous-groupe invariant intégrable de G. I] faut donc que les

équations of of :

== — = €} CO de, de, +1 m entraînent & — 6... = 6, — 0. On peut alors faire en sorteque Xz:1f, en NT.

fassent partie de G. On voit alors qu’on peut trouver dans G v—1 transformations infinitésimales indépendantes entre elles et ne faisant pas partie de G! telles

qu’en les combinant avec une transformation quelconque de G! on oblienne des transformations du plus grand sous-groupe invariant intégrable T de G'; 7! est supposé l’ordre de G',

La recherche des transformations infinitésimales qui laissent invariant un groupe donné G à » paramètres et à n variables est considérablement simplifiée par ce qui précède. Par exemple si on cherche toutes les transformations infinitésimales Uf qui laissent invariant le groupe des mouvements de l'espace (x, y, z): P; 47, YT—2q, zp — ar, æq —yp, il suffit de chercher celles pour lesquelles (p, U), (q, U), (r, U}, (yr — zq, U), (zp — xr, U), (xg — yp, U) se réduisent à des translations Àp + aq + vr. On trouve ainsi

Uf = o(xp + yq + 2r), e étant une constante qui peut être supposée égale à l'unité.

En particulier supposons que G soit semi-simple. Alors toute transformation infinitésimale Uf qui laisse invariant G peut être supposée échangeable avec toutes les transformations de G, à moins qu’elle ne fasse partie elle-même de G. Supposons que G soit un groupe à g variables a, 2, ….,æ,, et que le sousgroupe qui laisse invariant un point arbitraire soit à 7—q paramètres et ne soit contenu dans aucun sous-groupe plus grand. Alors si le point arbitraire Mi, 4 -, de, est laissé inyariant, par-le sousgroupe X,;:1/,…..,X,f de G, il admettra dans le groupe total X,f,.. ,X,f, Uf, aumoins r+1—q transformations infinitésimales indépendantes, par conséquent une transformation de la

forme Uf + AXif + + A2,X,f. Par suite il admettra toutes les transforma-

tions CRU EAN EUX) = (X, NX E + LXy)

MM ET g)

La transformation infinitésimale XX,f + .… +2,X,f laisse donc invariant le sous-groupe X,41f, …, X,f, et par suite, d'après les hypothèses faites, fait partie de ce sous-groupe. Donc Uf laisse invariant le point (x?,...,æ;) et par conséquent tous les points de l’espace, ce qui est impossible. Donc toute transformation infinitésimale qui laisse invariant G fait partie de G 0).

Nous avons simplement supposé dans la démonstration que le sous-groupe qui laisse invariant un point arbitraire, n’est invariant dans aucun sous-groupe à un paramètre de plus.

(4) Cf. KizuG, Z. v. G., IV, p. 189.

(2) La question qui vient d’être traitée est posée par M. Lx pour un groupe simple à q varitbles, en supposant que ce groupe ne contienne pas de sous-groupe à plus de 7—q paramètres. Math. Ann., t. 25, p. 135.

CARTAN 45

114 E. CARTAN

40. Enfin une dernière question, qui présente une grande importance dans les applications de la théorie des groupes à l'intégration des équations différentielles, estla décomposition d’un groupe donné G en une série normale de sous-groupes ). Il s’agit de trouver une série de sous-groupes de G: G’, G”, G”,.…, telle que si on considère la série G,G',G',.…, chaque groupe G( de cette série soit un sous-groupe invariant du groupe GÜ-® quile précède immédiatement, et ne soit contenu dans aucun sous-groupe invariant plus grand dé ce groupe Gt. D'abord si G est intégrable, il suffit de prendre ses groupes dérivés successifs Gi, G, G3, .…, et d’intercaler entre deux groupes dérivés consécutifs G;, G;:,1 (d'ordres r;et r;,:) ia —;— 1 groupes obtenus en ajoutant à G;,, successivement 7;,4—1:—1, Via —T; —®, ..…, 2,1 transformations infinitésimales de G; indépendantes de celles de G;,,. Cela se fait immédiatement si on connaît la manière dont les X;X;) s'expriment au moyen des X;f.

Si le groupe G n'est pas intégrable, on peut toujours, sans résoudre aucune équation, algébrique ou transcendante, trouver son plus grand sous-groupe invariant intégrable T, et cela au moyen du théorème VI de ce chapitre. À T est associé un groupe semi-simple g isomorphe à G. Je suppose qu'on sache décomposer ce groupe g en sous-groupes invariants simples, ce qui, Comme on sait, n’est possible que d’une seule façon. Soit gi, ÿ», .…, ÿn, une telle décomposition. Soient g le sous-groupe invariant de g formé de g2, gs, .…, 9x3 g' celui qui est formé de g3,.…, gr, et ainsi de suite. À ces sous-groupes invariants de g correspondent dans G des sous-groupes invariants G', G', .…., G-1), Alors la série

GAGNON PME ESS constitue une série normale de sous-groupes de G, en supposant que la série r,T/,..., soit une série normale de sous-groupes de T.

Nous sommes donc en définitive ramenés au cas où on a affaire à un groupe semi-simple. Soit G: Xif, X,f,...,X,f un tel groupe, donné à l'avance. Nous pouvons toujours, en résolvant des équations linéaires, trouver toutes les transformations infinitésimales échangeables avec une transformation prise arbitrairement. Nous avons alors un sous-groupe y d’un certain ordre /, qui est précisément le rang de G. Soient X;f, ..., X3f, l transformations infinitésimales indépendantes de y. Formons l'équation caractéristique relative à + :

(20) DES Yale, C2, .., ejw"? D UE à D y(es C2, ..., eo? = 0.

I n'y a qu'un nombre limité de groupes semi-simples de rang / et d'ordre r. On

(1) V. à ce sujet Lie, Transformationsgruppen, H, p.104 et aussi dans le même vol., p. 765, un théorème de M. Excez.

peut pour chacun d'eux former l'équation caractéristique relative à un sousgroupe y déterminé. Soit

(21) QT Gad, La, ..., ju +... prod, Da, +, Gijwt = 0

une d'entre elles. Tout revient alors à voir si, au moyen d'une substitution linéaire permettant de passer de e,,e,, .….,e à 21,2%, …,æ, l'équation (20) peut se transformer dans l'équation (21), et dans le cas où c’est possible, à trouver cette substitution. On à alors la correspondance entre les transformations des sousgroupes y des deux groupes et par suite, comme on connaît les racines de (20), la correspondance entre les diverses transformations des deux groupes.

On est donc ramené à un problème de la théorie des substitutions linéaires.

41. M. Killing ne prend pas pour point de départ de ses recherches sur les groupes non intégrables en général le plus grand sous-groupe invariant intégrable. Il commence par étudier les groupes qui sont leurs propres groupes dérivés, en supposant que pour un tel groupe le sous-groupe y soit formé de transformations échangeables entre elles. Il étudie d’abord le cas où l'ordre de ce sous-groupe y est égal au rang du groupe (), puis il passe au cas général. Il développe ainsi des calculs longs®), dont il est difficile de dire s'ils sont rigoureux ou non, tant il est facile, comme il le reconnaît lui-même, d'oublier de considérer un des nombreux cas particuliers qui peuvent se présenter. Nous reviendrons d’ailleurs, dans le Chapitre VIIL, sur un certain nombre des résultats qu’il obtient. Quoi qu’il en soit, il énonce le théorème suivant, que tout groupe qui est son propre groupe dérivé est formé d’un sous-groupe simple ou semi-simple et d’un sous-groupe invariant de rang zéro. Tout ce qu'on peut dire de certain, c'est que la démonstration du fait que le groupe contient un sous-groupe simple ou semi-simple est manifestement insuffisante ; c'est une question que nous n'avons d’ailleurs pas effleurée dans ce Chapitre.

Ce n’est que dans la dernière partie de son Mémoire que M. Killing s'occupe des groupes qui ne sont pas leurs propres groupes dérivés), Il y énonce le théorème que le groupe dérivé est toujours formé d’un sous-groupe simple ou semisimple et d'un sous-groupe invariant de rang zéro : c’est, à part la question de l'existence d’un sous-groupe simple ou semi-simple, la première partie de notre théorème V ($ 6).

(1) Kiu6, Z. v. G., III, p. 66-87.

(2) KiuwG, Z. v. G., III, p. 87-108.

(3) KizuG, Z. v. G., IV, p. 181-189.