AXE NX/F, (XX) = —2X7, (XXE

Comme dans le Chapitre précédent, on voit que les transformations infinitésimales de T qui appartiennent aux différentes racines se partagent en un certain nombre n de séries ; à chacune de ces séries est associé un nombre p (entier ou moitié d’un entier) tel que la série comprend une transformation infinitésimale et une seule appartenant à chacune des racines pu, (p— 1) w,, ..., — pu. Si par exemple on appelle 2,5, Z,.s,if, …, Z,,f les transformations infinitésimales de la 2° série, on a les relations

(2) Ki) = (pi + Arf, (Xi) = (pi KZ if, (HU? CU D DD de 0) avec naturellement (3) (VZri) = 2kZyf.

Le crochet de deux transformations appartenant respectivement, l’une à la racine 2, et à la «° série, l’autre à la racine jw, et à la $° série, appartiendra à la racine (i<+y)u et sera une combinaison linéaire des transformations des diverses séries. Supposons que %, $, y désignant trois nombres fixes, on ait

(4) (Zbis) = kif +, les termes non écrits provenant des séries autres que la y. Alors en combinant (4) avec Xf, on obtient

< à : AMC Er FR (à) (p i) ip (le J) dj (Pr t Î) iÿr ( | j | <p

avec Àj = 0 pour Litil> 2.

Naturellement les nombres p,eti, pe et 7, p, et i<+j, sont en même temps entiers ou fractionnaires.

Les formules (5) montrent d’abord que si p,>p+ps, tous les À; sont nuls; il suffit d'y faire successivement ? +7 = pe + ps, ? +] = Pa + Pa — 1, et ainsi de suite.

Nous n'avons donc à considérer que le cas où p, < p, + ps. Alors tous les À;; s'expriment en fonction des X,, pour lesquels p + v—p,. On trouve facilement alors

(6) À; — » Ch CP hu vs (ue +V=pya>t> A B>V> HE bo v

en désignant par C,? le nombre des combinaisons de p lettres q à gqg. Les formules (6) ne font pas autre chose qu’'exprimer les identités de Jacobi relatives à Xf, Lif, Zf, pour 1+j>—p.,, du moins en ce qui concerne la y° série. Si NOUS posons

XX X = (XX) Xx) + ((XX)X) + (XX NX) ,

nous avons donc exprimé (7) XZiLje = 0, pour 1H) > —pD..

Si nous écrivons maintenant les identités de Jacobi relatives à XF, Z.f, Zjef pour 2+j=p,;+1, nous obtenons

(8) (Pa + 1)ki 5 + (Pa + j)k,jn = 0,

ce qui donne des quantités proportionnelles aux À,(m+v=—p,). Si l'on avait p, < Pa -— Ps (Pa >> pe), en donnant dans(7) à j successivement les valeurs — De, 1 — De, 2— Ps, .…, on en déduirait que tous les À,,, pour p+v= p., sont nuls, et par suite aussi tous les À; Donc pour que les À;; ne soient pas tous nuls, il faut que p, soit inférieur ou égal à la somme des nombres p, et ps, et supérieur ou égal à leur différence.

S'il en est ainsi, les formules (8) donnent de proche en proche pe Dy=Pa- 113 oo Da À pren; … COMME des multiples commensurables de os b—Pae On voit facilement que ko pv est proportionnel au coefficient de x? dans la série hypergéométrique

F(Ps+p,—Patl, 1, —92p,, x).

Les À étant ainsi déterminés, à un facteur constant près, toutes les identités

118 E. CARTAN

(9) X'Zil jy = 0, pour i+ÿ =p; +1, sont vérifiées.

2. Je dis alors que toutes les identités de Jacobi où entre une des transformations infinitésimales Y/, X/f, Xf, sont vérifiées d'elles-mêmes. Au lieu de faire la vérification directement, nous allons utiliser une identité remarquable.

En désignant par X; # symboles quelconques (à = 1,2. ..,;) et en posant par définition

(XX x) — >, CixsX ss (a, Bb = 4, 2 THE ni),

S—1 où les cx, sont des constantes arbitraires assujetties aux uniques conditions

Ciks + Cris — 0, considérons les expressions

XX Xe = (XX )X a) + (XX )X) + (XX IX), (SEA 2 ER Si 1,7, k, h désignent quatre quelconques des indices 1,2, ...,r, considérons l'expression (X;X;)X4X,. On a (XX; )X EX 7 = (XX NX x) + (XX XX ;)) + (XXE X x) On en déduit REX = E((OUX XX, )

À, p, v, p désignant une permutation paire quelconque des quatre indices 2, 7,k,h, et les sommes s'étendant à toutes ces permutations. On en déduit immédiatement avec les mêmes conventions