XX XX, EX XX, X

c'est à-dire

(XX; XX — (XiXz)XaX; 2e (XX)X;X à Se (XX) XX ;

(40) + Rx XX + (XX XX = (XX Xe X) + (X;XzXn, X;) SF (XX: X;, Xx) + (XaX2X;, X)). En particulier si nous voulons que les constantes cx, déterminent une structure de groupe, la formule (10) montre que dans certains cas il ne sera pas néces-

saire d'écrire toutes les identités de Jacobi. Dans le cas qui nous occupe suppo-

sons vérifiées les équations (1), (2), (3), (6), (8). Alors toutes les expressions XX;X; qui contiennent Yf et toutes celles qui contiennent à la fois Xf et X'f

sont nulles. Il en résulle qu’en remplaçant respectivement X;, X;, X4, X, par

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS 119 Xf, NF, Zap, Z;f: On à

XX ia Ze + XX Lg) — XZi(X' Ze) — XX Ze) L js

(11) ESA core = (X, X'ZuZ;s) —(X', XZoZe), nel =D) =D pi 1, ..,, —p;).

Si on fait dans cette formule à +j successivement égal à p,,p, —1,…, 1— p,, et cela de toutes les façons possibles, et si on tient compte des formules (7) et (9), on trouve, en remarquant que pour —p, <k< p,—1, (XZ%,) n'est jamais identiquement nul, (12) AU == 0. pour LE Die di De ses LD, et manifestement la formule (12) est encore vraie pour à et j quelconques. I ne reste plus qu'à démontrer la formule

(13) XZi2jn = 0, pour d+j = —p, —1.

Or, en faisant dans (41) i+j égalà —)»,, on trouve, en tenant compte des

résultals précédents, (Pa + TX Zi 4, 258 + (pe +J)X Zi; 1,8 = 0.

Si on fait dans cette formule successivement à égal à —p,, 1—p,, .…., Pe —p., en donnant à 7 les valeurs correspondantes p,—p,, p,—p, —1,..,—p, on trouve que la formule (13) est vérifiée de proche en proche pour toutes les valeurs possibles de à et de j.

Donc toutes les identités de Jacobi où entre une des transformations Yf, Xf, X'f se trouvent vérifiées.

3. Il reste encore à considérer les identités de Jacobi relatives à trois transformations Z/f. Faisons abstraction, dans les expressions Z:,Z;2x, Où «a, 6,7 sont trois indices déterminés, des termes qui ne se rapportent pas à la à° série ; autrement dit ne considérons dans 7Z:,Z,;,2x queletermeen Z},;,%2f. de dis que, là encore, il n’est pas nécessaire de donner à t, 7, # toutes les valeurs possibles. Remplaçons, en effet, dans (10) les quantités X;, X;, X4, X, par Xf,Z;f, ZLjef, Zmf, puispar X'f, Zif, Lyef, Zxf. Nous obtiendrons les deux formules

4) (KZaZZin) = (KZ) ZisZie + ZX je) Zie + Li Zi( KZ),

LZiLjsLr) = (Zi) Lei + Zia(X' Ze) Lier + Lin Li X Ze) Observons que si i+j+k% est inférieur à p., les expressions Z:,Z;2%. et (X, ZxZÿ;2r,) S’annulent en même temps. La première identité (14) montre alors

que Si ZioZÿZm — 0 pour i+j+k—p,, ïil en est de même pour

120 £. CARTAN

i+j+k=pi—1, Ps, ...,—p. Supposons qu'il en soit ainsi : la deuxième identité (44) montre, en y faisant i+j+k= p,, que si deux des termes du second membre sont nuls, le troisième l’est aussi. Cela étant, supposons qu'on ait

SEMI) pour Dir Je

Pa je dis que toutes les expressions Z,:,.2;,Zx, Sont nulles pour Pa—1+j+k=p; il suffit en effet de remplacer dans la deuxième formule (44), à par p.,, et de remarquer que (X’Z,,a) = 2a/p,-1,af. Remplaçons ensuite i par p,—1, avec Pa—2+j+k—p, on voit que toutes les expressions DRE aLjeZr, SON nulles, et ainsi de suite.

Il suffit donc en résumé d'écrire PTE EU pour Pa +j + E£ = Po

Dar &

pour que toutes les autres identités de Jacobi soient vérifiées d’elles-mêmes.

4. Avant d'appliquer les considérations qui précèdent à des exemples particuliers, introduisons l’hypothèse, non encore utilisée, que les transformations Zf forment un sous-groupe invariant de rang zéro. Nous avons vu (III, 3) que tout groupe de rang zéro contient au moins une transformation distinguée. Il en résulte que dans un groupe d'ordre » et de rang zéro on peut trouver » transformations infinitésimales indépendantes Uiif, Uif, …., Uinufs Uuf, =, Usmf : +. Unm,f, telles que toute transformation distinguée du groupe se déduit linéairement de Uiif, …, Uinf, que toute transformation distinguée (mod. U:if, ..…, Uf) se déduit linéairement de U,f, .., U,,,f, et ainsi de suite, de sorte que les crochets (UaU,,#,) ne dépendent que des transformations Uyf, où y <a.

Ici, si on suppose que ce groupe de rang zéro soit le groupe T, il est clair que le sous-groupe : Y/, Xf, X'f laisse invariant l’ensemble des transformations Uuf, +. Uimf; puis l’ensemble des transformations Uuf, .…, Uemyf, et ainsi de suite. Autrement dit, on peut supposer que les n séries de transformations Zf que nous avons considérées sont choisies de façon que l'on ait les formules suivantes :