Q (45) VASE

PA Dh

(a, a+8B— 1,2, ..,n; BP>0;2= pe, pe —1, .…, —p;7 = ps, ps —1,\.., —p,), tout-à-fait analogues à celles qui donnent la structure d’un groupe de rang zéro (IT, 3).

5. Exemple. — Supposons en particulier qu'aucun des nombres Das Das - 4 Un ne soit entier, autrement dit que les racines 1 et —", soient simples. Alors le sous-groupe invariant T a ses transformations échangeables entre elles, car le crochet de deux transformations appartenant respectivement à deux racines de la

à 1 1 forme (a+ )o et (+ 5) ne peutpas appartenir à uneracine de lamême

forme. Si ce cas se présente, le sous-groupe + ne contient qu'une transformation infinitésimale, c’est-à-dire le coeflicient 4,,(e) n'est pas identiquement nul. Réciproquement, si 4. (e) est différent de zéro, le groupe est de rang un, et par suite, si on le suppose non intégrable, est formé d’un sous-groupe simple à trois paramètres et d'un sous-groupe invariant à (ransformations échangeables entre elles. Il en résulte en particulier :

Théorème (, — Jout groupe d'ordre égal ou supérieur à quatre contient certainement deux transformations infinitésimales échangeables entre elles.

Si fe) — 0, cela résulte en effet du théorème VI du Chapitre Il; si Y,(e) <O et le groupe non intégrable, cela résulte de ce qui précède ; enfin si %,.(e) <0 et que le groupe soit intégrable, cela résulte de ce que le groupe dérivé, qui ne se réduit pas à la transformation identique, est de rang zéro.

6. 2° Exemple. — Supposons,comme autre cas particulier,que tous les nombres p soient égaux et entiers. Alorsles X,,, pour pu +v—yp, sont donnés au moyen de la série hypergéométrique (p+1)...(p+i)

DE ; 2p(2p—1)...(2p—i+1)

F(p+4, 15 —2p, 2) 1 PE

ai SES de sorte que

9p(2p — 1)... (2p—v+1) Il en résulte facilement

LES = L): (v — (Hz 1e 2, RE ?p).

huspu = CRC, Cela étant, supposons d’abord que p soit impair. Alors

Php Si on calcule alors (for ule 6) b— ?

— DE CD-H lon D Ce

(1) Ce théorème a été énoncé sans démonstration par M. Kiun6, Erweilerung des Raumbegriffes, Braunsberg, 1884, puis démontré par M. Excez, Leipziger Berichte, 1886, p. 91, par des considérations a priori d'une toute autre nature que celles du texte.

CARTAN 16

122 E. CARTAN

on voit que À — 0. Par suite Le sous-groupe y formé des transformations infinitésimales Nf, Ziif, Zof, :.., Zonf, @ ses transformations toutes échangeables entre elles. C’est un cas particulier d’un théorème de M. Killing (). Plus particulièrement, supposons p — 1. Alorsona ho = — À puis en appliquant la formule (6),

Lo = — dy = 2e — 2 D D Nous pouvons donc poser :

Ziani 0e as» (ZoaZ1g) = — EbopyZarf (16) | CREDIT NE IR (Za2ag) = — 22 0prZor | (ZoxZag) = EbarL af, (Zraloe) = — Ebasl sf (ZaaZ08) = 0, :

les sommes étant étendues à toutes les valeurs de y inférieures au plus petit des

deux nombres x et f.

Les constantes b.., satisfont maintenant aux identités de Jacobi qui contien-

nent trois transformations Zf. Comme nous l'avons vu dans le paragraphe précédent, il suflit de considérer les identités

Lions — 0,

pour ÿ+é—=0," "c'est-à-dire dans-les/ trois cas D === 0; j=—k— —1, ou évidemment dans les deux premiers cas seulement. Or LialigZ se = ? > (baboge ie bexpbous)Ziof »

p,S LialosLo, — D (bb beasdpge)Zicf p,S

Nous avons donc >) bebe = D bte = D basodgres e p p

et de plus évidemment bass = boar-

Considérons le système de nombres complexes = Lui + Lola + °° + Ann, à n unités W, U:, .…, Un, et définissons le produit de deux nombres par l’équa-

tion

MOINE RIEEING, 22 Gr LED "28 007

LU, DE = ÿ, TJrbinsus.

ük

As On voit que la multiplication ainsi définie satisfait ici aux identités UjUy = Uyli UUjUy = UiUUÿ, c'est-à-dire est commutative et associative. Nous sommes donc ramenés à étudier les systèmes de nombres complexes à multiplication associative et commutative (en entendant naturellement l'expression système de nombres complexes dans son sens le plus général).

Tout cela est vrai pourvu que l soit un sous-groupe invariant. S'il est de plus de rang zéro, nous avons en outre

UE = > biiyj, sus.

Par exemple, si #n — 2, nous avons les deux types de systèmes

US = Use da 01,

Ur dhus —= 0, di =, Si n—3, nous avons les cinq types

rene 14 = = Mie vs = (ME

DA Un Us = 0, UU — U),

M Valle — Us = 0, — 0, OUUu, — Us = |,

UE RU UN UE aus 0, ui U;|,

ie Us — Waits — Us — 0,

et ainsi de suite.

6. Supposons maintenant que tous les entiers p soient égaux à 2. Alors

F(3, 4 lé — À, 1) == ES re

En calculant les quantités À;;, on trouve

— (22208) = +5 (Ziels)=— (Zos22)= > bases p—1 Pt at) Zatos) = Ann) 3 val) D dom O1 { 4 a r} À y f UT) — 2 (Zl2g)= — 3 (Zia2 18) = (Zoa/08) = — 3 (Ze) 6 3 Ê (= 0 — 3 (Zclas)= 20243) =2(2 13208) =— - 218)

PNR

—(Zoa2,) = ÿ b802 + "E

4 rm = (Zal)= ÿL 9 ao)

Les constantes D, satisfont évidemment aux relations

(18) Baye + bpar = 0,

>) tee Z ee

qui montrent en particulier que toutes les transformations d’une même série sont

échangeables entre elles.

Si nous écrivons maintenant les identités de Jacobi relatives d’une part à

Zaofs Logf, Le,f, d'autre part à Z:.f, Zisf, Z 1,,f, nous trouvons

> Dexeboar + Ù biapbogs = 0, PS) p—1 p=—=N 7 S baye bon >) brapb Dose = 0, de p—t

d’où l’on déduit, quels que soient les indices «, 8, y, à

» basebes = 0 ;

et il est bien évident que ces équations (19) entrainent la vérification de toutes les

identités de Jacobi.

On voit par là que le sous-groupe y défini par les transformations infinitési-

males Yf, Zoif, Zuf, Zonf, est soumis aux seules conditions (Zi 0, ((ZoïZo;)Zox) 710$

toutes les transformations du groupe dérivé de + sont des transformations distinguées de Y, mais ce sous-groupe y n’a pas nécessairement toutes ses transformations échangeables entre elles, et cependant le groupe total est son propre groupe dérivé et n'admet pas de transformation distinguée. Nous avons donc un exemple où le théorème de M. Killing dont nous avons déjà parlé n’est pas vérifié 0).

Par exemple on peut prendre n —3, avec

(YZoi) = (YZo2) — (YZ03) — (Zo1Zo2) = (ZoiZo3) > 0, (Z02203) = Lof. On à alors un groupe à 18 paramètres, dont la structure résulte immédiatement

des formules écrites plus haut. Par exemple, si on prend cinq variables x, 42, 3, ds OA

es ÉREX | : ; 2 X/f = Pi — Ps, Lis —= 3 (Pa + 13), ZLasf = Ps, La] — — 3 Let ps

Fe 2

Yf = — (xp; + 22pe + Draps + 22,p, + 2x, pi), Znf— — 3 Du

, ; 2. ; 4 2 Laf = %ips Ep, Loif = — 3 Du LR Deer 3 RES )ps

Losf = Lip2 + 3 50 LENS 3 Lip ZLuof = rip; + (aie — 2mits)p,,

3 hs ; 2 : ; LAS pa Lipot tp, Z>, ms TP L aof—=tip;—Atia3p,,

2” Lsaf = 2rips — dép; + Arèt,p,, X'f = — 22ps — {3 + Drit2)pa — (223 — di%2)ps — A(a +220), — Ait p.

7. Dans le cas général où les nombres p1, ps, ...,p, sont tous égaux au même entier p >>, sion pose

C0 (ZaLos) = > baseZuol ;

les constantes by, satisfont aux relations

Dogs + (—1)Ogey = 0, Ph (21, D babe = 0, p—1

comme on le voit immédiatement en écrivant les identités de Jacobi

TEE = LyaLy 82 pr = 0.

(4) V. plus baut, Ch. Il, 89. Le théorème de Kiune se trouve dans le mémoire cité, IL, p. 8 et 9, et IL, p. 66.

126 E. CARTAN

Il en résulte qu'on peut choisir les séries de telle façon que l’on ait bjr = bis, 0% = Us = LR Æ 0, (Es RL. M; Le VETEMENT)

m étantun certain entier inférieur ou égal à n. Autrement ditiln’y a pas d’autres combinaisons non identiquement nulles de deux transformations de l que celles de deux transformations appartenant aux n —m dernières séries, et alors elles donnent naissance à des transformations appartenant aux m premières séries. De plus si p est pair, les transformations d’une même série sont échangeables entre elles.

8. M. Killing a étudié dans la première partie de son mémoire (Math. Ann., t. 31, p. 276-285) les groupes dont l'équation caractéristique admet une seule racine identiquement nulle, et qui de plus sont leurs propres groupes dérivés. Il trouve ainsi les résultats exposés plus haut ($ 5). Malheureusement il ne démontre pas d'une façon rigoureuse que toute transformation infinitésimale générale fait partie d’un sous-groupe simple à {rois paramètres (Math. Ann., t. 31, p. 284 et t. 33, p. 37, note).

CAPI TR Her T