GROUPES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES SIMPLES

1. Considérons un groupe non intégrable G n'admettant qu’un sous-groupe invariant intégrable T. Les transformations de T sont certainement toutes échangeables entre elles, sinon le groupe dérivé T1 de T serait un autre sous-groupe invariant intégrable. Si on appelle / le rang dugroupe, —Æm,, Hu, .. , Hu, les racines principales de l'équation caractéristique relative à un sous-groupe y déterminé, toutes ces racines peuvent se déduire de ! d’entre elles 4, &, .. Toute racine secondaire w, est alors de la forme

: - 7e D, = Mio + Ma + + Mywy, OÙ M4, 1%, ...,# Sont des nombres commensurables tels que Mai Mali +... Æ Midi = Qui ENS EN

et ici les quantités a,; désignent des nombres entiers. Si w, est une racine, il en est de même de w,—+a@uw;; plus généralement, si w,<+/hw; est une racine, il en est de même de w,<+(a;— hs; etde w,+mu;, où m est un entier compris entre h et a; —h.

Si le groupe G admet un seul sous-groupe invariant intégrable, il est bien clair que pour toutes les racines secondaires, ou plus exactement pour toutes les racines auxquelles appartiennent des transformations de T, les coeflicients de w, par exemple diffèrent entre eux de nombres entiers ; autrement dit, si w, est une de ces racines, toutes les autres sont de la forme

D + Jin + Ya Æ "+ Guy, où les g sont des nombres entiers.

Si en particulier dans «w, un des coeflicients m,, m2, .. , my est fractionnaire, les transformations du sous-groupe 7 et celles qui appartiennent aux différentes racines principales ui, Em, ..., Eu, déterminent manifestement un sous-groupe semi-simple de G. Le groupe G est alors formé d’un sous-groupe semi-simple et d’un sous-groupe invariant à transformations toutes échangeables entre elles. De plus l’ordre de y est précisément égal à /, rang du groupe, car aucune des racines &,+gi + ..—+gu, ne peuts’annuler.

128 E. CARTAN

Réciproquement, si l'équation caractéristique de G n’admet que { racines identiquement nulles, toute transformation arbitraire de G fait partie d'un sousgroupe semi-simple de rang { qui, avec le sous-groupe invariant T, détermine complètement le groupe G.

M. Killing énonce le théorème général que tout groupe non intégrable G peut être considéré comme formé d’un sous-groupe semi-simple q et de son plus grand sousgroupe invariant intégrable T (), Des considérations analogues à celles développées dans le Chapitre VI ($ 3), montrent qu'il suffirait de démontrer ce théorème pour les groupes qui n'admettent qu'un sous-groupe invariant intégrable. Mais c'est une question qui nous entrainerait trop loin. Tout ce qu’on peut dire, c’est qu’à chaque racine principale on peut associer un sous-groupe simple à trois paramètres, et au fond M. Killing ne semble pas chercher à démontrer autre chose.

Ce théorème peut néanmoins se vérifier facilement si le groupe F est un sousgroupe de y, c'est-à-dire si w, —=0, g, = 9; = = = g;—0. Soitalors U/ une transformation infinitésimale quelconque de Tr. C’est visiblement une transformation distinguée du groupe. Soient w; et w; deux racines principales auxquelles nous supposerons associés les deux sous-groupes Yif, Xif, X:f, et Y,f, X;f, X;f. Supposons que w;+w; Soit une troisième racine principale w4; on peut poser

Xaxf = A(XiX ;), Xxf = a(XyX y), (aa 0).

On a alors

(XaX 1) = a( (XX ;)Xx) — a(Xi, bX;) — a(X; cX ;'), (XaXx) = ab(XX;) — ac(X XX ;) = abYf — acYf.

Cela montre bien que les différents crochets (X;X;) se déduisent linéairement de ! d'entre eux. Par suite le groupe contient un sous-groupe semi-simple g et une transformalion distinguée U/f qui est visiblement la seule transformation infinitésimale de T, puisqu'elle détermine un sous-groupe invariant intégrable de G.

2. À une racine w, peut-il appartenir plusieurs transformations infinitésimales indépendantes de T ? M. Killing répond par la négative, du moins si la racine w, n'est pas identiquement nulle, toujours dans le cas où le groupe n’admet qu'un sous-groupe invariant intégrable ®), Néanmoins le fait énoncé peut très bien se présenter. Si par exemple / = 92, et que les racines principales wi, +, Æ(w,—w) correspondent au type A), on peut avoir comme racines secondaires

(4) V. KicuNe, Z. v. G., Ill, p. 98-108.

(2) V. Kiné, Z. v. G., IL, p. 78 et 79.

ee li à Ge 4 "Te 5 | 4 4 5) 3 Men 3 2 ADS 3 Es Re AE ES as MER LE A Cp Pi es É 1

3 25 oi 3 29 3 04 3 2) 3 01 3 2» 3 Mia il 2 (l sl =—. 3 u)4 — 3 Wo, — 3 wy — 3 Wa,

les neuf premières racines étant simples et les trois dernières étant doubles. On a alors un groupe à 23 paramètres n'admettant qu'un sous-groupe invariant intégrable. Nous donnerons tout à l'heure sa structure.

3. Étant donné un groupe non intégrable G n'admetlant qu'un sous-groupe invariant intégrable l, quels sont tous les sous-groupes invariants de G ? Soit g le plus grand groupe semi-simple isomorphe à G ; 4 se décompose en un certain nombre de sous-groupes simples gi, ga, .…, gr. Toutsous-groupe invariant de g, soit g', s'obtient en prenant toutes les transformations qui appartiennent à un nombre déterminé des sous-groupes 91, ÿ2, .…, Qn. Il correspond dans G à un tel sous-groupe invariant g' un sous-groupe invariant G qui contient T, et on obtient d’ailleurs de cette façon tous les sous-groupes invariants de G qui contiennent T. Peut-il y en avoir d'autres ? S'il y en avait un autre, il serait nécessairement semi-simple, et par conséquent, d’après le théorème III du Chapitre IV (S 2), G se décomposerait. En particulier le sous-groupe invariant semi-simple aurait toutes ses transformations échangeables avec celles de Tr.

Cela étant, supposons que «wi, w,, …., w, soient /, racines principales de l’équation caractéristique relative à g, de rang l ; de même w,,1,..., 7, pour g supposé de rang —{, et ainsi de suite. Si G admet un sous-groupe invariant semi-simple, par exemple 9, et si w, désigne une racine quelconque à laquelle appartiennent des transformations de T, on a

Qu = da = * —= du = 0,

et par suite w, ne dépend que de w41, ..., uy. Réciproquement, supposons que pour chacune des racines «, :

Dear Mn, EU 40 a CE TUE}, l’une des séries de coeflicients (mi, M, .…., nu), (Mas M Em), Soit formée de termes tous nuls. Supposons, pour fixer les idées, que pour une racine particulière w, la première série, et celle-là seulement, soit formée de termes tous nuls. Alors considérons l’ensemble des racines pour lesquelles

et l’ensemble des transformations infinitésimales de l qui leur appartiennent ; on

CARTAN

130 £. CARTAN

doit pouvoir, par des combinaisons successives avec des transformations infinitésimales de Yi, ga, Ja... ÿns passer de l’une quelconque de ces transformations à une autre quelconque. Or si on part d'une transformation appartenant à la racine primitive w,, transformation échangeable avec toutes les transformations de g: (sinon il existerait une racine pour laquelle aucune des séries de coefficients ne serait formée de termes tous nuls), on n'arrive jamais qu’à des transformations échangeables avec toutes les transformations de g1. Par suite, pour toutes les racines, my = M =. = M, = 0, et le groupe admet g, comme sous-groupe invariant.

Donc pour que le groupe ne se décompose pas, il faut et il suffit que l’une des racines auxquelles appartiennent des transformations de T dépende à la fois de l’une des racines 041, &2, .…, w7, de l’une des racines w741,.…., wr,, etc.

On suppose essentiellement que G n’admcet qu’un sous-groupe invariant inté-

grable.

Par exemple, prenons h—9, l, —1, l—92, avecles racines secondaires

E 1 E w ee : :

Po Nous avons un groupe à dix paramètres : Vif, Xif, Xif, Yaf, Xaf, Xaf, Lif, Laf, Zaf, Z,f, dont la structure est donnée par les formules suivantes :