CT OM OCT USAGE
Ce groupe est son propre groupe dérivé, comme d’ailleurs tous les groupes non intégrables qui ne se décomposent pas et qui admettent un seul sous-groupe invariant intégrable.
M. Killing énonce à deux reprises différentes (Math. Ann., t. 34, p. 59 et 83) que si un groupe est son propre groupe dérivé et ne se décompose pas, le plus grand groupe semi-simple qui lui est isomorphe est nécessairement simple. L'exemple précédent suffit pour prouver qu'il n’en est rien.
4. L'étude des groupes G tels que le plus grand groupe semi-simple qui leur
soit isomorphe soit un groupe de structure donnée g, et pour lesquels le plus grand sous-groupe invariant intégrable T a ses transformations échangeables entre elles, se rattache de la manière la plus étroite à l'étude des groupes linéaires et homogènes de la structure de g. Considérons en effet un tel groupe G : soient Vif; Y2f,.…., Y,f n transformations infinitésimales indépendantes de T et X;f, X2f,.., X,f r transformations infinitésimales indépendantes entre elles et indépendantes des premières ; x est l’ordre de let r+n celui de G. On a alors des relations de la forme p—n
(XXE) = y Cr X sf + D) Dre Yef>
S=—1 pt
(1) € Det (XiY,) = D Cine Yof s MER) = 0, p—1 A ME PVR PRE 1 Move en)
Les cz, déterminent la structure semi-simple g. Appelons CN Cri t ga Val cer an]
la transformation infinitésimale la plus générale de G. Considérons le groupe adjoint de G ; il laisse invariante la multiplicité plane
DEN ES = No Es =
et il transforme les points de cette multiplicité suivant un groupe isomorphe à G. Ce groupe est évidemment semi-simple puisque les transformations Y;f, …., Y,f laissent invariante chacune des transformations de l. Ce groupe semi-simple est évidemment donné par
d25een Of | (2) bi — D Gi DL (à #1, 2. ve ne ps V
et il est isomorphe holoédrique à qg, si g n'admet aucun sous-groupe invariant à transformations échangeables avec celles de F, c’est-à-dire, d'après le paragraphe précédent, si G ne se décompose pas.
Réciproquement considérons un groupe linéaire et homogène semi-simple,
PhD E/-
(2) Ef = —. Ÿ. 0.9, JL (i = 14,92, ...,r),
pay
132 E. CARTAN et soit
(3) (EE) = s . f, (i, = 1,9, ...,r),
relations qui reviennent aux suivantes :
p=n Ce id
(4) À ; (GinpEtov SE Aupiov) 5 , Cikslsuy — 0, p—1 S—1 (2, Fe DA . TT; Vale 2 ro)
Considérons a Peer les équations
(à) (XiX%) = 5) Cixs2 Xe, (Xu) == D PRE (XSY0) == 0,
(OM ST ONE je dis qu’elles permettent de définir un groupe. D'abord les identités de Jacobi où entrent trois des quantités Xf sont vérifiées, de même celles où entrent deux des quantités Yf. Il reste donc à vérifier les identités
(RX:)Y,) + (RaY,)X) + (XX x) = 0 ; en faisant le calcul on retombe sur les relations (4). Donc au groupe linéaire et homogène considéré correspond bien un groupe à #+n paramètres dont le plus grand sous-groupe invariant intégrable T a ses transformations échangeables entre elles, et qui indique comment le groupe adjoint échange entre elles les transformations de T1
Cette dernière remarque montre que si on effectue sur les variables
is J2s -., Gn Une substitution linéaire, cela revient à remplacer les transformations infinitésimales Y,f, Y:f, …, Y,f par n autres transformations infinitésimales indépendantes, et réciproquement, de sorte qu’à deux groupes linéaires et homogènes semi-simples semblables entre eux au moyen d'une transformation
linéaire et homogène correspondent deux groupes G isomorphes holoédriques, et réciproquement.
5. Mettons en particulier le groupe G sous la forme réduite relative à un sous-groupe y déterminé; alors le groupe semi-simple Eif, Ef,.…,E,f sera mis aussi sous forme réduite. Si alors Ef est une des transformations de y asso-
(1) Un groupe de cette structure s'obtient en prenant
Xf=— ZE . auvtypy, VIDE: (TRE ET D),
ciée à une racine principale, les coeflicients a, seront nuls pour y ÆYoauet seront des nombres entiers pour p —v; -par suite les équations finies du groupe engendré par E,f, équations obtenues par l'intégration du système d'équations différentielles
dgi = di. di y iugs e CETTE Æ . AinnŸn ol
contiendront rationnellement le paramètre arbitraire {. De même si E,f appartient à une racine de l'équation caractéristique relative à y, soit la racine w, ; car alors les racines auxquelles appartiennent les transformations de l se rangent en un certain nombre de séries dont chacune constitue une progression arithmétique de raison w, :
Des CO Che Cho RM GO), Ni &,—uy, ni w;,+e, n'étant racine. Sialors x,,x!,.…., sont les variables | | of dF DES g relatives à la racine w,, .…, Ef ne contient pas Î > Contient Fes üi
0x, 0x dx da avec des coefficients qui ne dépendent que de x,, x,, …, et ainsi de suite. L'intégration du système
NS TRS UT; \ - 2419 PATTPEL 20 yn n
donne alors 91, 42, .…, gh en fonction rationnelle, et même entière, de {. Finalement, comme les équations finies du groupe peuvent s’obtenir en cherchant successivement les équations finies des groupes à un paramètre engendrés par les transformations infiuitésimales E,f, E/f, ..,E,f, on voit qu’on peut toujours choisir les r paramètres de façon qu'ils entrent rationnellement dans les équations finies du groupe.
Théorème. —- Ætant donné un groupe linéaire et homogène semi-simple d'ordre
FO I VAPIOULES Las es La à
k—n M —, >) AG," Ge) Da Re 1 n Li —= ik\ #15 23 es WpJedxks LR IBOE CIC) , Mes = | on peut toujours choisir les paramètres 4, 4, ...,a,, de facon que les coefficients A
des équations finies du groupe soient des fonctions rationnelles de ces paramètres.
Ce théorème se rattache d’ailleurs à des recherches très remarquables de M. Maurer sur les groupes dont les équations finies renferment algébriquement les paramètres dont ils dépendent (.
6. Si un groupe linéaire et homogène semi-simple (2) ne laisse invariante au-
(1) Münch. Ber., 1888, p. 103-150. V. à ce sujet Lie, Transformationsgruppen, HI, p. 800 sqq.
PR
134 E. CARTAN
cune multiplicité plane, le groupe non intégrable (5) qui lui correspond n’admet qu'un sous-groupe invariant intégrable, et réciproquement. L’étude des groupes linéaires et homogènes semi-simples d'ordre > à n variables, qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane, et l'étude des groupes non intégrables d'ordre r+n quiadmettent un seul sous-groupe invariant intégrable d'ordre n et qui ne se décomposent pas ($ 4), se ramènent donc l’une à l’autre. C'est ainsi que le groupe à 23 paramètres dont il est question au paragraphe 2 est complètement défini par le groupe suivant, isomorphe au groupe projectif du plan, et qui ne laisse invariante aucune multiplicité plane :
Xuf—X oo = 8% Pi — 203 Pa M5 Pa +22 ,D +3 Ds + 8T De 22 Pr 20 Po Ya aus) Xaf —Xoo = di Pit taPa—8ts Pa 82,22) + 226 p5— 225 Ps +28 Ps — Yoda Tao Ya tas, Xof = (Sy + Lan — 225 Pa + Lip + (2e + 2) — Lis — Digi — Es — Lie — Le Xuf = — 22,p, + 23p; — (8ys + 23)p4 — LaPs — (y: + 22) Po + Lada + TiQa — (ya + H1)Qs — 217, X20f = LP + (2y2 + 322)Ps — 220903 + (ya + La )Ds — Li Po — Lars — Yaga — Dre — LT, Xof = ip — (y + 3823)p, — 220p5 — (y + 24)Ps — die + Era Æ Dao — as — (ya + 2a rs, Xaf=— 22; pi ya —22) pat D, — Mapa yat )ps — 2e (ge 2) — digestifs dos)
Naf =— pat (er) ps, Pet Press) Detail (ii —yi)ge — 2aiatdsqs—dols.
Les variables 2, 42, d:, æ,, æ, &,, %, 3, &, Se rapportent respectivement aux
racines L uw 2 . : + ! : = o += ï = RU = ee 0) — 0) 0) — U); 3 DU MUSIC OS QATAR SP OS EN ONE SR 4 1 2 ss 2 2 4 4 4 2 | ab] — — 0j — -- 0 nt — — U)y — — u); — — bu) NO e es varianlies TE UD OT MES Ne ee St : ; ? 1 1 Yi, Z1 à la racine double ain a w, ; les variables Yy2:, z2, à la racine fl 2 : : ; à 1 1 Ve ty + 7 w,; enfin les variables y:, z:, à la racine Ms 4 — ci W.
M. Study a fait des recherches remarquables sur les groupes linéaires et homogènes de la structure de certains groupes simples, notamment des groupes projectifs de la droite, du plan et de l’espace ). On voit quel lien étroit rattache ces recherches aux théories qui nous occupent. Il serait très facile en particulier de retrouver, au moyen du Chapitre précédent, tous les résultats de M. Study relatifs aux groupes linéaires et homogènes simples à trois paramètres.
7. Comme application nous allons chercher le plus petit nombre de variables possible qui peuvent être échangées entre elles par un groupe linéaire et homogène
(4) V. Lie, Transformationsgruppen, II, p. 185-188.
simple de structure donnée, et ensuite déterminer ce groupe, qui ne laissera manifestement invariante aucune multiplicité plane. Cette question a une extrême importance dans la théorie de l'intégration des équations aux dérivées partielles qui admettent un groupe fini et continu, car sa solution donne tous les types de systèmes d'équations différentielles linéaires les plus simples possible, auxquels se ramène l'intégration du système proposé.
Considérons un groupe simple y de rang { mis sous forme réduite ; soient 4, a, + .., (y, Wyp1, ..., © les racines de son équation caractéristique, les / premières étant indépendantes. Supposons que g fasse partie d'un groupe G, formé de g et d'un seul sous-groupe invariant intégrable T. Soient wr,1, …., wx les racines de l'équation caractéristique de G auxquelles appartiennent des transformations de T. Je dis que parmi ces racines i{ y en a au moins une w,, telle que tous les entiers @,1, Au, .…., Au, ne dépassent pas À en valeur absolue, à moins qu’elle ne soit une racine principale et qu’alors les deux entiers a,, et as (o, = —w,) atteignent seuls la valeur absolue 2. Je suppose bien entendu que G ne se décompose pas.
En effet, soit w, une quelconque des racines 1,1, .., ww. Soit k la plus grande valeur absolue des entiers Gi, dur, ..., Gaxe Supposons par exemple ai = h. Si h est égal à 1, il n’y a plus rien à démontrer. Supposons donc À >2. Alors l'équation caractéristique admet toutes les racines 6,, 5, + w, ..., &, + ho. Considérons la racine ©, = w, + w; et formons les entiers Guy, Ur, .…., den. Je dis qu'il est impossible que l’un de ces nombres dépasse L en valeur absolue et qu'on ne peut avoir, par exemple, 4;,= 2h quesionadéjà a; —Æ+h.
Supposons que l’on ait en effet
(6) [as l=la+al>h; on peut supposer que 4,; est positif, en changeant au besoin w; en —w,;. Si nous considérons d’autre part la racine wy = vw; + ajuw;, nous avons
(7) Lau | = | dj + aijdui | = | aÿ + ha; | h. Si a; était positif, les inégalités (6) et (7) s’écriraient
dj +; >h> 4a,;+ ha, ce quiest manifestement impossible. Si 4;; était négatif, comme 4,; est au plus égal à k, l'inégalité (7) s’écrirait dj + ha > — h,
ce qui entraînerait a; —=—1 ou —2;, sia;;estégalàa —1, l'inégalité (6) est impossible ; si 4; —=—9, il faut que a,; soit égal à h, et l'inégalité (6) est encore impossible. Il reste donc la seule hypothèse a; = 0, et alors 4,; est égal
à h, ainsi que 4&,.
136 E. CARTAN
Cela étant, le nombre des entiers 4y,. ., a qui atteignent k en valeur absolue est certainement moindre que celui desentiers @1, 32, +, Gyr, puisqu'on a dj = ja; = h—2, tandis que a; —h. On pourra donc, en allant de proche en proche, trouver une racine pour laquelle tous les entiers 4, G2, .…., Gar ne dépasseront pas 4 en valeur absolue. Mais il pourrait se faire que pour cette racine tous ces entiers fussent nuls, et alors cette racine serait nulle; la racine précédente w, serait nécessairement une racine principale et les deux entiers a, eta, seuls atteindraient 2 en valeur absolue.
Ce dernier cas se présentera certainement si toutes les racines 61,4, .…., üx s'expriment en fonctions linéaires à coefficients entiers des | racines principales indépendantes 1, w2, .…, w7. Car en employant des notations dont nous nous sommes déjà servis, en même temps que la racine
D, —= Ma + Mau +... + Mwy, existent les racines” W,2 —10, 5152.10 O2 00 2... COTON DD = NW, + Mau: + + + Mjuy, où les m' se déduisent des » par une certaine substitution linéaire qui, effectuée à fois de suite, se réduit à la substitution identique. Les racines de l'équation caractéristique de cette substitution sont des racines u* de l'unité et aucune n’est égale à 4. Si on appelle s,, 8, ..., s, ces racines, la substitution peut se mettre sous la forme a Los ee = SL + LM + ee + am), RUES RP Rs où les z sont certaines constantes convenables. Il en résulte que da (a RE) am me) Else SR) (uma + am), mais s; étant différent de 1, satisfait à l'équation SOS RS ES Il en résulte que l’on à Pa + NU + UP) a ce MAD ee = y ME + ce me) = 0.
Par suite si on passe de la racine w, aux racines &,8;,,8S, …, aucun des coeflicients de wi, w2, ..., w, ne conserve constamment son signe. Or, le coeflicient de w, ne change que si on effectue la substitution S, ; il ya donc deux racines 40 + Mau +... num et — Mio + Mau +. Hmuw, pour lesquelles les coeflicients entiers m, et —m4 sont de signes contraires ; l'existence de ces deux racines entraîne celle de la racine nuw: +... + muy, qui est un des termes de la progression arithmétique de raison w, et dont les termes extrêmes sont les deux racines considérées. En répétant sur cette dernière racine le même
raisonnement, on arrive à une racine qui ne dépend plus que de 0, “3 007, el ainsi de suite jusqu'à une racine myw,, c'est-à-dire jusqu’à une racine principale. Donc si tous les coeflicients nu, Mas. My des racines 1}, ..…, wn Sont entiers, une au moins de ces racines est principale (1),
Remarquons que la suite des entiers @n, du, .…, dx ne fait que se repro-
duire dans un autre ordre lorsqu'on passe de w, à une des racines
a | à Wa; Wa 2) .., Don.
Supposons, par exemple, que 8 = %, wi —w,;, Ona Asj = Ag + Uidy = (doi + di) + rider + dudit) = Gi. À chaque entier à,; correspond un entier 4; qui lui est égal, et réciproquement ; les indices correspondants à et ÿ se déduisent l'un de l’autre par les relations &O; = Wôi, dj = W;94.
Cela étant, imaginons que w, soit une des racines pour lesquelles tous les entiers &@u,.…, dx ne dépassent pas À en valeur absolue, sauf peut-être a Si w, est une racine principale et ne conservons que les racines qui se déduisent de w, au moyen des substitutions S;, S2, …, S. Sià cesracines correspond un groupe, ce groupe sera nécessairement d'ordre inférieur au groupe G, du moins si les degrés de multiplicité de ces racines dans le second groupe sont au plus égaux à ceux de ces mêmes racines dans le premier groupe G. Nous allons donc d’abord chercher à déterminer les racines ©, — mimi +...<+ my, pour lesquelles
BL PUR ne dépassent pas 1 en valeur absolue, puis les racines principales w; pour lesquelles les entiers 4j, .…, ax ne dépassent pas 1 en valeur absolue, sauf a; et a, et enfin voir celles de ces racines qui entrainent l'existence du plus petit nombre possible de racines.
Si w4, &2, .…, w) désigne un système fondamental de racines du groupe simple, et si le déterminant des entiers a;; correspondants est égal à +1 ou à —1, il faudra nécessairement partir d’une racine principale, car Îles coeflicients Mu, M, My sont alors toujours entiers, et en partant d’une racine w, pour laquelle les valeurs absolues de 44, …., ax ne dépassent pas 1, on n’arriverait jamais à une racine principale, ce qui est contradictoire avec ce que nous
avons vu plus haut.
8. Nous allons, sans entrer dans le détail des calculs, indiquer les résultats auxquels on arrive pour chacun des groupes simples.
(1) Cf. Kicuw6, Z. v. G., ILE, p. 108-111.
CARTAN 15
138 E. CARTAN
4° Type A). 1>1, r = ((1+92). Les racines principales sont
= ü);, 0); — Wy, (2 = kS de Jo = 1, D Do d Sion ne part pas d'une racine principale, on arrive à deux systèmes distincts de racines :
D Dot + 0) 0) + D: + 0 D Do: * + + W7 CS) ———— , ————— —""x, ——— — 0}, ICE LEA 124] et u) + Wow y Wok + 0 u) + Do + w) (9) Po 2 a 2 Fac A 1 2 nee.
dont chacun contient {+1 racines. En partant d’une racine principale on les retrouve toutes.
2% Type B) 1>3, r—l(21+1). Les racines fondamentales sont w,, Dane ON AVOC, ip = 14 Adi — ii ni. — ii = 2, DOoII0N Ne pall Dis d’une racine principale, on obtient certainement une racine «w, pour laquelle
Da = Gp Ve ay = —1 et qui donne naissance à 27 racines. En partant d’une racine principale, qu’on peut toujours supposer fondamentale, et qui par suite ne peut être que w,, on obtient le système
(10) == 0) (w, — w)), 0 qui contient 2/+1 racines, et ce dernier nombre est toujours inférieur au pre- MER SOU.
3° Type GO). 1>2, r—l(21+1). Les racines fondamentales sont w,, «», , y avec ay=—1 sauf dax ax: —=a,;i—=—72.. Si on ne part pas d’une racine principale, on obtient le système
(11) — 7, = (wi qu)
qui contient 2/ racines. Si on part d'une racine principale qui peut être supposée
fondamentale, par exemple w,, on trouve 2/?— 2141 racines, c’est-à-dire un nombre supérieur à 2/,
4 Type D). [> 4, r — l(2l—1). Les racines fondamentales sont 1, 2, .., uw, Avec Qj=—1, Sauf a — —2, à; — Gras — 0 Si on part dure racine fondamentale, on les obtient toutes. Si l’on ne part pas d’une racine principale, on trouve le système
À Ll 4 (12) ER 9 W}1 es 2 7, EE Ë W7 1 —+ = ED w) ,
qui contient 2/ racines et auquel il faut ajouter, pour /{— 4, les deux systèmes :
{ 1 1 (13) == (autgu—gu—0), ne (guge—s.) = É ere
+ 2 2 2 2 20 1 1 1 a (- 9° + 9 ee vs) et il I 1 1 1 } (14) = (au T3 Se Une (au rat —;), te Ge su ju); 1 1 1 AT +gu—ge):
qui ont également 2! —8 racines.
5° Type E). [—6, r —718. Les racines fondamentales sont o1, 6, ..., &,, AVEC Gi le sSAut = —2, à, = ag — dy, = 4 — 0. On trouve deux Systèmes obiepus en partant, LUN dec, — 0, =) — gg, — 1, l'autre de a ae — 0,5 — Ad. IIS ont Chacun 2 racines.
G Type E). l—7, r —133. Les racines fondamentales sont w,, w, .. , D MAVOGIGU ll COAUR Gi 2, ü — 4; 4,4, —.0: On-trouve un seul "système obtenu en partant devra; = dés = <= Q5 = —1A. "Il à
56 racines.
7 Type E). 1—8, r — 248. Les racines fondamentales sont wi, m2, …., w,,
Abe 1, SUD a 0-0, —0,, — 0. Le déterminant des a;; étant égal à 1, on doit partir d’une racine principale et alors on les obtient toutes. On a ainsi un système de 241 racines.
80 TypeF). l—4, r —52. Les racines fondamentales sont w,, &, &3, &,, avec Gj—=—1AÂ, sauf à; = ds = 4, — 3 = 4,, = —2. Le déterminant des
a;; est encore ici égal à 1. On doit partir d’une racine fondamentale qui ne peut être que w, ou w,. On obtient ainsi un système de 25 racines principales. 9 Type G). l—2, r—14. Les racines fondamentales sont w,, w, avec Au = A2 = —2, de = —3, ay ——1 Le déterminant des a;; étant encore égal à l'unité, on peut partir d'une racine fondamentale qui ne peut être que «x». On a alors le système (45) Æ 2, Æ (w, — w2), (wi — 2w), 0,
qui contient 7 racines.
9. Cherchons maintenant à faire correspondre à chacun des systèmes trouvés un groupe avec le plus petit nombre possible de paramètres. À chaque racine nous pourrons faire correspondre une seule transformation infinitésimale, sauf pour le groupe de rang 8 à 248 paramètres, pour lequel à la racine zéro doivent appartenir au
140 E. CARTAN
moins 8 transformations infinitésimales indépendantes, et pour le groupe F) de rang 4 à 52 paramètres, pour lequel à la racine zéro doivent appartenir au moins 2 transformations infinitésimales indépendantes.
Sans indiquer la structure complète des groupes auxquels on arrive ainsi, je me contenterai d'écrire les groupes linéaires et homogènes simples qui leur correspondent.
1° Groupes simples du type A) 1>1, r—=1(1l+92) On a deux groupes linéaires et homogènes à n — [+1 variables. L’un correspond au système (8) et est le suivant :
Ki Xi = pr a Pa (HMS D Nu Dir PAREIL I UE
les n variables x,, 21, 4, …, æ appartiennent respectivement aux racines 4 + W2 +... + w
= laeA D'Or Er up Eh y.
Le second groupe correspond au système (9) :
A7) Xif — Xoof = LoPo — Lip GC 00) Ka — — Tip; (DS ML CONSO RATE
les n variables %,, 21, %, .…, 4, appartiennent respectivement aux racines
= OMS MES EE EN), LEE IH | Les deux groupes (16) et (17) sont les mêmes, quoiqu'aucune substitution
Dir) MU ee DE: OU:
linéaire et homogène ne permette de passer d’une transformation infinitésimale de l’un à la transformation infinitésimale de même nom de l’autre. Ces deux groupes sont dualistiques et représentent chacun le groupe linéaire homogène spécial de l’espace à l+1 dimensions N,
2° Groupes simples du type B) 1>3, r — (21+1). En mettant les racines principales sous la forme symétrique qui a été indiquée au chapitre V
+w,, EU eo, (SRE 0 AL le système (10) se compose des n — 2+1 racines (10°) Æ w;, 0, CES RE On en déduit le groupe linéaire et homogène suivant : Xf = Lips — Lrpr, (CRE AU (18) Xif = Pi — LP, (EM EE 9 PRE Xaf = Lr Pi — try UV MENT ae Mets RAEENN
(1) V. sur ce groupe et sur la démonstration de ce fait qu'il est simple, Le, Transformationsgruppen, I, p. 556 sqq.
TRS NANADIeT -. de, Li y, Lou …, %, appartiennent respectivement aux raGines 0/00, 2; 7, — 04, — 7, 7 — w.. C’est le plus grand groupe linéaire el homogène de l’espace à 2IHA dimensions qui laisse invariante la forme quadratique 23 + Quid + Dame + + Say M, 3° Groupes simples du type C). 1>2, r = (2141). En mettant les racines principales sous la forme symétrique que nous avons déjà indiquée :
me &;,
Æ w; Æ w), RU 2, L), le système (11) se compose des 2/ racines
