CE
On voit que la solution du problème ne dépend que de la structure du groupe. On peut encore définir le groupe g par les relations auxquelles satisfont les paramètres &, €, ....,e, de sa transformation infinitésimale la plus générale. Ces relations sont linéaires et homogènes et s’obtiennent par exemple en éliminant A4, À2, .... Àm entre les r équations 0) (16) Ëg = » À, (k ns 4, 2. 56.60 re Si nous regardons, avec M. Lie, e,, @&, ...., e. comme les coordonnées homogènes d'un point dans un espace à #—1 dimensions, le sous-groupe 4 d'ordre
m est représenté dans cet espace par une multiplicité plane à m—1 dimensions, M, qui est dite l'image du sous-groupe, un point quelconque de cette multiplicité étant donné par les formules (16). Imaginons que nous effectuions sur cette multiplicité une transformation du groupe adjoint. Nous obtenons une nouvelle multiplicité plane M’, Elle est évidemment l'image d'un sous-groupe g, celui qu'on obtient en effectuant sur les x et les +’ dans les équations
(Eh cs ne Ste rTS MAN an)
du sous-groupe g la transformation correspondante de G. Les deux sous-groupes g et g' sont dits homologues dans le groupe total G. On dit encore qu’ils appartiennent au même fype de sous-groupes.
Si en particulier, quelle que soit la transformation du groupe adjoint qu'on effectue sur M, M’ coïncide avec M, le sous-groupe g est dit un sous-groupe invariant. D'après le $ 4, on voit que si @f désigne une transformation infinitésimale quelconque d’un sous-groupe invariant g et X;f une transformation quelconque de G, (@X;) fait partie de g, c'est-à-dire que
s—m UT) (MX) = Ÿ 6m bif, G—=1,2,...,m; k—1,9,...,r). s—1
La réciproque est d’ailleurs bien évidente.
9. Un sous-groupe invariant important est formé par les transformations infinitésimales (X;X;). On a en effet, en vertu de l'identité de Jacobi,
p—=r ir
(X{X,X,) = > Fos > Co XeX y)
p—1 PA
CRE MORE à À
Si donc les (X;X,) forment moins de r transformations infinitésimales indépendantes, elles définissent un sous-groupe invariant G, de G. C’est ce qu'on appelle le groupe dérivé de G®). Si les (X;X4) forment r transformations infinitésimales indépendantes, G est son propre groupe dérivé.
Le groupe G dérivé de G, est le deuxième groupe dérivé de G, et ainsi de suite. On dit aussi que G, est le premier groupe dérivé de G.
Si q est un sous-groupe invariant de G, le groupe dérivé g, de q est aussi un
sous-groupe invariant de G), car de
(1) Le, Leipziger Berichte, 1888, p. 19. M. KicuxGé (Math. Ann., t. 31, p. 253-254), emploie l'expression « Hauptuntergruppe », ou sous-groupe fondamental.
(2) Cf. Kruuxc, Zusammensetsung von Gruppen, Math. Ann., t. 36, p. 161.
20 E. CARTAN
SN
(Xi 0x) = » baxsdef, (a De LE 2, HOUR k = 15 2, Cr! ni) ,
on déduit
pm p—Mn GRR) = D b(%,%,) — D 6:,(2,%6.).
La différence r —7r, des ordres du groupe G et de son groupe dérivé G est égale au nombre des invariants linéaires indépendants du groupe adjoint de G; car si 2, est un invariant du groupe adjoint, on a
d'où er 0: RTE | et réciproquement, si X,,,41/,.. .,X,f définissent (, on a Coui = 0, AE RO MENT Se QE eur
et &, 2, ...., e Sont des invariants du groupe adjoint.
10. Étant donné un groupe G d'ordre r défini par les r transformations infinité-
simales indépendantes X:f, X2f,...., X,f, appelons comme tout à l’heure E;f les transformations infinitésimales du groupe adjoint :
Sy k et posons Of (48) Ge G=1,2,...,r) On a alcrs (49) (EG) = Ÿ cnGf.
Cela étant, considérons la famille de transformations infinitésimales a %1f + Bof + +: + ce, Omf. OÙ Gif = Xi + + u,X,f, RER RE E Supposons que la transformation infinitésimale AXf+:+2,X,f laisse invariante cette famille, c'est-à-dire qu'on ait s—m
(20) (EXX;, Lx) = D Ars sf , (HA 7 Ra
(1) Cf. KizuNe, Math. Ann., t. 31, p. 268.
SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS 21 alors on aura, en posant Gil — af + 2 + ty Gr/, (a = Le 2, (iehens mt),
les relations
Sn
(20) ŒXE;, Gi) = À a Gif, ITR NNE "I
Le | Soit d'autre part F(e,, 6, ....,e,) un invariant du groupe adjoint et posons a
Ef = D) \E;f; i—1
nous aurons
SM
GE) = D aGF,
S—1 GE) = Da GuGe — D aGiGF, S—1 s—1
\ (RER A2... ne).
Il résulte de là que la transformation infinitésimale %f — EXAX/f laisse invariante chacune des familles de transformations infinitésimales définies par l'un des systèmes suivants d'équations en e,, 63, ...., 0, :
(22) GE 0, (CRE PR LS (23) GiGiE — 0; RL 2 Em),
(24) GiG:GE 0, ends ee Le RO
Il en est de même de chaque transformation infinitésimale qui laisse invariante la famille a %f +. +e, hf.
En particulier, si ®%:f,...., %,.f forment un sous-groupe de G, il en sera ainsi de chacune des transformations de ce sous-groupe.
Si %if, -..., nf forment un sous-groupe invariant de G, le groupe G laissera invariante chacune des familles de transformations définies par les systèmes (22), (23), (24),... Si alors Fe, &,...,e,) est un polynome homogène de degré m, le (m—1)° de ces systèmes définira un nouveau sous-groupe invariant de G.
Théorème. — Si les om transformalions infinitésimales indépendantes
22 E, CARTAN k=r
DETTE Q—=1,2,.,.,m) forment un sous-groupe invariant du groupe
k= G d'ordre ri Xif SX, fs side plus F désigne un invariant du groupe adjoint de G qui soil un polynome homogène et de degré m en e1,63,...,e,, le système d'équa-
lions linéaires
GG, GG F=0, RONA TN PE = s pe d 0f où G Ÿ = Y SN Caen Gil éd dey R=!
définit an sous-groupe invariant de G.
Si le premier sous-groupe invariant se réduit au groupe lui-même, le système d'équations considéré s'obtient en égalant à 0 loutes les dérivées partielles d'ordre
m—1 de K par rapport à e,es, ..., 6.
