ES

On en déduit le groupe linéaire et homogène suivant : (49) 6 Kf=—enps (=; 1=EI, 22, .., El; si sii>>0, =—15ii<0), | Xf=—cmp cap, (isji j— +1, 9, …, Hi); la variable x; appartient à la racine Lo et x; à la racine = =. C’est le plus grand groupe linéaire et homogène qui laisse invariante l'expression de Pfaff Lidds — r'dX, + Lden es Lt + --- + aider — xrdxy @),

4° Groupes simples du typeD). [> 4, r = l(2l -1). En mettant les racines

principales sous la forme symétrique Hu, ED HEART ARS SEU) le système (12) se compose des n — 21 racines suivantes : =) SR Perd Ce système donne naissance au groupe linéaire et homogène (20) Xaf = — LiPr + Lx Pi RSR EM = El, 2, El)

les variables 2%, Æ2, ..…., %, dir, Œar, .…, &y appartiennent respectivement aux racines 44, Op, ..., 7) — 04, — 0, …, —0} C’est le plus grand groupe linéaire et homogène de l’espace à n —l dimensions qui laisse invariante la forme quadratique

Lili + Lade' + ... + Lyly.

Si / — 4, nous avons encore les deux systèmes (13) et (14) à considérer:

(4) Cest LE qui le premier a démontré que le groupe projectif d'une surface du second ordre, qui se ramène immédiatement au groupe considéré, est simple. V. Archiv for Math., t. 10, p. 413. (2) V. sur ce groupe, Le, Transformationsgruppen, I, p. 522 et IT, p. 295.

À (13°) = (eau + &0 + 03 + Ew,), (= HA; se, = — 1; / 1 .

(414) 3 Er Eat + 8303 + E,0,), (= El; ess, = + 4e

Chacun de ces systèmes donne naissance à un groupe linéaire et homogène qui ne diffère pas du groupe (20) : il suffit de voir qu’en appelant wf, 09, w,, w, quatre racines distinctes des racines (13') par exemple, l’ensemble des racines principales s'exprime de la même façon au moyen de of, w!,, w!, qu'il s'exprimait au moyen de 1, 2, w3, w,. On a donc dans le cas de / = 4 trois groupes linéaires et homogènes à 8 variables qui ne sont pas distincts, mais néanmoins tels qu'aucune substitution linéaire ne permet de passer des transformations infinitésimales

de l’un aux transformations infinitésimales de même nom de l’autre.

5° Groupes simples du type E) et de rang 6. 1—6, r = 718. Lesracinesprincipales étant mises sous la forme

— 0%, L(v+w; Hu), Æ (+ uw + +v,+o,+o,) = TF3, CNET ER ER NON Er NC) les deux systèmes de racines secondaires à considérer sont les suivants : (21) w—vw, w+0w, —w,—w—uy, (1 k;1, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6); (22) &,—uw,—w—2w,, w,+uw+uo,, (12H k; 1, k = 1, 2, 8, 4, 5, 6).

Au premier système correspond le groupe linéaire et homogène à 27 variables |

i p—6 P—6 ñ De-6 = Xi = Lipi + VYiqi — 3 D LP — » Zip 3 y Zypl' aus p—1 pt À, u

— Xaf = LxPi + Yi — D Zi Ho

(23) er — Xoo0 = Y1P1 + YaPa + YaPa Yi Pi Vs +Y6Po — Xo0f = Li + Fig + Las + 2,9, + 2593 + Lie) — Xl = Lilo + Lun + Lau + Zi + Zi j + Lis ls Xl = Bu Zn + BaPu Ye + Yi Ye Les variables x, y, zx = — zx (i,k, = 1, 2, ..., 6) appartiennent respectivement aux racines w, +26, ü—uw, —ow—uw;—w,; de plus les six

indices distincts 2, 7, #, À, a, y forment une permutation paire des indices 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ce groupe est le plus grand sous-groupe du groupe linéaire et homogène spécial qui laisse invariante la forme cubique

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS 143 Lo e.6 J = > ayran— D riens ù

la deuxième somme étant étendue à toutes les permutations paires des indices 1, 2, 3,4, 5, 6. Il laisse invariante en même temps la multiplicité définie par les

équations 0J 0J 0J Ori OY dx

équations qui se réduisent à 10 seulement.