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Au système (22) correspond un groupe qui n’est pas distinct de (23); il suffit dans les formules (23) de remplacer Xyf par —Xxf, Xoo0f Par —X/of; Xo0 Par —Xoo0s Xixf par —Xi;f et Xiuf par —X;xf. On peut faire au sujet de ces deux groupes la même remarque que pour les groupes simples du type À) et pour les groupes simples du type D) et de rang 4.
6° Groupes simples du type E) et de rang 7. 1=17, r — 133. Les racines principales étant mises sous la forme
W, — wy, LE (w; + w; + wz), Æ (oi + w +: +w, —w) = TE (20, +w;), VEUT bd 21) le système à considérer est formé des 56 racines suivantes : (24) Æ(w; —w;), Æ (0, + w; + wy), MS MT AUS) ET)
Il lui correspond le groupe linéaire et homogène suivant :
Rif — pit puit Erepe — Sade — - Edu Pro . Eau aus Xaf = — LP: + YiIn + Et Pro — EVYroios (25) ! Xoof = — Etiqu — Etiq Xoof = — 2; Pan — EYin Par Xi = — LP Lei — Lwip; + YiQ x + YiQui + Ya — Er Pos OX = — pie jp — daDiy + Yo + hdi Vds — ra Les variables %;, Yi, Zn = —%m, Yx = —-Yx appartiennent respeclivement aux racines ü—06,, Dj, —0j—0%—0y Wj—+uw+uw,; de plus dans les
expressions de X;;f etde X'Af les indices À, p, v, p sont distincts de 1,7, k et
sont tels que ikluvo forme une permutation paire des indices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ce groupe laisse invariante l'expression de Pfaff 1 1e e,7
> (xdy: — yidæ) en > (dixlyix — Yixdtix) 5 ik
144 E. CARTAN
de plus il laisse invariante la forme du quatrième degré Et ET Es = =
de > D > LU TU jh ; » > D > DOTRNU OUEN
ANRT A1 p—A V— 1 p—1
St > (La Y Ye + Vin l lo), la dernière somme étant étendue à toutes les permutations paires tAuvosr des sept premiers nombres entiers. Le groupe laisse encore invariante la multiplicité définie par les équations
dj 99 à à =, Où OO Oxx OYx É
et celle qui est définie par les équations
(ET ns JU DO MOTOR TOO T0 EM
Ces dernières équations se réduisent à 28 seulement.
7° Groupes simples du type E) et de rang 8. l=8, r — 248. Les racines
principales étant mises sous la forme Wj — W}, Æ (o; + w&j + wx), (SET SRE; UE EE 010: 10)
le système à considérer est formé des racines principales elles-mêmes auxquelles il faut ajouter la racine 0. A cette racine doivent appartenir 8 transformations infinitésimales indépendantes du groupe T. Le groupe linéaire et homogène qu'on obtient alors n’est pas autre chose que le groupe adjoint du groupe simple à 248 paramètres. Ce groupe admet 8 invariants, dont l’un est la forme quadrique 4(e) si souvent considérée.
8° Groupes simples du type F). 1—=%4, r—52. Les racines principales étant mises sous la forme
EN LE ON ee Mie —— «y 2 = W3 © W, Es < LE w;, LE &; + wz, ——— ", (GiZk; i, k = 14,92, 8,2), 9 Ù
le système à considérer est formé des 925 racines Es es EU,
À la racine O doivent appartenir au moins deux transformations infinitésimales indépendantes de T. On arrive alors au groupe linéaire et homogène suivant, où les transformations infinitésimales sont désignées par les notations du Chapitre V ($49):
ee | } Î Pi Li Pi SE 9 Ÿ (Liu Pijra <a Li ji jnt)»
re re “ œ.| Xf = — 2,4 + Dyp, + ÿ ee la pare
Cf 7 ; AP SET
Xf = — 2q + 2yps + 8 > lag Pages a,r,ù
