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(27) , Xuf = L, De — LarPy — a D El er Pass

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(f—4,2,8, 4, a El, P=HÉ2, . y= 28" TEA).

Les variables %;, %,, appartiennent respectivement aux racines w,,

D, + 0: + 0, + w, D 1 Le groupe (27) laisse invariante la forme quadratique

quant aux variables y et z, elles appartiennent à la racine 0.

(28) Ye D + Lily + Lola + Laly + LL, + > Lagrla gr.

CARTAN 19

De plus il laisse invariante la multiplicité définie par les équations Yi + data + Midas + 2,2, = 0, 2z(z > y) + Lyoglrorsn + Los d'a, À Lo! La'a3 À Lana 0, 2z(3 + y) + Lirassdrarae + Load ass + Los ada'alaut EE Low Las — 0,

22,7 HR DEEE Ge 228 + » Eat Lopyola'py'e 0, (29) < 8,v,8 œ,v,è

22,2 + > Er laprla eye — 207 + D) Encelaprola ge — 0, CARA CAR 0 (Y — Entrer Mapse + EatgEs lala gr H El lag ge + Sel Page | + ee dilogg = 0.

Ces équations se réduisent à 10 seulement.

9° Groupes simples du type G). 1—2, r —14. Lesracines principales étant mises sous la forme 0) Wj — W, (RENE 200 le système à considérer (15) est formé des 7 racines (459 : | Lu 0

Il lui correspond le groupe linéaire et homogène suivant :

/ 1) | il | Xif = — Lpi + Yi +3 > (aPx — YaQ3), 30 € = A (30) Xof = 22pi — ya — (jh )(d;qu — dd).

Xoif = — 22q; + dir + (A (YiPr — YxP5), OX = — pi + yiq;.

GÆ]£k;1,7,k = 1,92,3; (ik) = 141 ou —1 suivant que la permutation 4 est paire ou impaire).

Les variables x;, y;, : appartiennent respectivement aux racines w Ce groupe laisse invariante la forme quadratique

n —wÿ, (0.

(31) J = 27 + GiYs + AoYe + Las; il laisse en même temps invariant le système des équations de Pfaff ads — aide + (jh ydyx — yady;) = 0, dy; — yidz + (ijk)(x;das, — xxdx,) = 0,

qui entraînent comme conséquence

23 + aidy; + tdys+ddys = 2d3 + yidas + yod, + LS = 0!

Ge groupe laisse donc invariant l'ensemble des œ multiplicités planes à trois dimensions du cône J—0 définies par

Li — A8 + bas = UATE — 0,

(33) yi biz + Al 3 — A3L9 — 0,

Ya — D33 + Gita — ati = 0,

où les constantes «a, &, 43, bi, b3, b4 satisfont à la relation

Gb, ct TAUX + aa03 + À — 0.

10. Ce qui précède nous permet d’énoncer le théorème suivant, qui présente les résultats trouvés à un autre point de vue.

Théorème. — out groupe linéaire et homogène simple à n variables, qui n’est isomorphe à aucun groupe linéaire et homogène à moins de n variables, peut, par une transformation linéaire et homogène effectuée sur les variables, être ramené à l’un des groupes suivants :

1° le groupe linéaire et homogène spécial G2, (type AÀ)) ;

2° le groupe linéaire et homogène le plus général Gun qui laisse invariante la

forme quadratique LI Li He +, (type B) sin est impair, type D) si n est pair) ; 3 dans le cas où n est pair, le groupe linéaire et homogène le plus général Gris qui laisse invariante l’expression de Pfaff

das — 2242, + 23dX, — 2,423 + + dy ddr — tndtr 1,

(type C)).

Il y a exception dans les cas particuliers suivants :

n=2: iln'y a qu'un groupe, le premier G, ;

n—=3: il n'y a qu'un groupe, le groupe linéaire et homogène spècial G, ; le deuxième groupe est isomorphe au groupe linéaire et homogène spécial G; à deux variables ;

n—=2A: 1 ny a que deux groupes, le groupe G, qui laisse invariante la forme quadratique ax?+ ai +ai + xt n'étant plus simple ;

n=5: il ny a qu'un groupe, le groupe linéaire et homogène spécial G,, ; le second groupe est isomorphe au Gi à 4 variables ;

n=6: nya que deux groupes ; le groupe Gi; qui laisse invariante la forme

148 E. CARTAN

quadratique a? + a+ a+ a +aèbat est isomorphe au groupe linéaire et homogène spécial G,,; à 4 variables ;

n=T: ilyatrois groupes, les deux ordinaires G,, et Ga et en outreun Gi; sous-groupe du Ga (type G)) ;

n = 2%6: ily a quatre groupes, les trois ordinaires G,, Gsx, Gas el en outre un G;2 sous-groupe du Gas (type F)) :

n—21: ilya trois groupes, les deux ordinaires Gr, Gas et ensuite un Gs qui laisse invariante une certaine forme cubique en 1, &2, …., æar (type E)) ;

n = 56: ily a quatre groupes, les trois ordinaires Gauss, Gussos Gauss 2€ Un Giss, sous-groupe du Gao, qui laisse en outre invariante une certaine forme du quatrième degree dd, die (iyReb))à

n = 248: ily a quatre groupes, les trois ordinaires Gis535 Gsoç2ss Gaogse 2É UN Gusgs sous-groupe du Gao, qui laisse invariantes huit fonctions rationnelles et

homogènes indépendantes de a, 22, ..., æ,, ((type E)).

41. Ce théorème donne en même temps tous les groupes projectifs simples à n—1Â variables qui ne sont isomorphes à aucun groupe projectif à moins de n —1 variables. Parmi ces groupes projectifs, tous, sauf ceux du type A) et ceux du type C), laissent invariante au moins une multiplicité ; par suite il existe des groupes à moins de n—141 variables, mais nécessairement non projectifs, qui leur sont isomorphes (), C’est la réponse à une question posée par M. Lie dans son mémoire sur les équations différentielles qui admettent un groupe fini (Math. Ann, t. 25, p. 135).

La recherche des groupes simples à n variables qui ne sont isomorphes à aucun groupe simple à moins de n variables, se ramène, comme l’a montré M. Lie, à la recherche des plus grands sous-groupes des groupes simples. Si l’on admet, ce qui est bien vraisemblable, que tout sous-groupe d'ordre maximum d’un groupe simple donné G contient une transformation générale du groupe, c’est-à-dire peut, par une transformation du groupe adjoint, être ramené à contenir une transformation arbitrairement donnée du groupe, le problème, comme l’a montré M. Killing ®), se ramène au problème élémentaire suivant : Parmi les r—1l racines wi, 6), .…, w,, de l'équation caractéristique de G, en prendre le plus grand nombre

possible soit r—1l—n: uw, w&, …., w, 7 ,, de telle façon que si la somme de deux

(1) C'est M. Werner qui à le premier, employant une méthode due à Lie, montré qu'il en était ainsi pour les groupes des types B) et D). V. Lure, Transformationsgruppen, NI, p. 808-809.

(2) KiuwG6, Bestimung der grôssien Untergruppen von endlichen Transformationsgruppen, Math. Ann., t. 36, p. 239-254.

de ces racines est une troisième racine, cette troisième racine se trouve encore parmi ces r—l—n racines.

Les groupes simples que l’on obtient ainsi ont un rapport très étroit avec les groupes linéaires et homogènes simples trouvés au paragraphe 9. Ils indiquent comment ces groupes linéaires et homogènes simples échangent entre eux soit les points d'une multiplicité qu'ils laissent invariante, soit certaines multiplicités planes contenues dans ces multiplicités invariantes. Les deux cas peuvent d’ailleurs se présenter pour un même groupe linéaire et homogène ; on obtient alors deux groupes distincts mais qui peuvent être ramenés l’un à l’autre au moyen d'une transformation de contact. Je me contente de prendre l'exemple du groupe linéaire et homogène (30) à 14 paramètres, du type G). Ce groupe laisse invariante la multiplicité

BH dia + daÿa + ya = 0.

Cette multiplicité, si on regarde 3, æ1, Yi, 2, Yr, ds, Ya Comme des coordonnées homogènes d'un point dans l’espace à 6 dimensions, contient æŸ points, qui sont échangés entre eux par le groupe considéré.

Si maintenant on considère les neuf transformations infinitésimales

Xuf, X»/, Xof, X20/, X30/, Xoaf, X:f, Xuf, X25/;

qui forment un groupe, elles laissent invariante la multiplicité plane à une dimen-

sion, c'est-à-dire la droite Bd = — LU — 0; si on effectue sur cette droite les transformations du groupe, elle prend æ° positions qui dépendent de 5 paramètres arbitraires : 3 + 2% — y = 0, Lino ARE À 2, Li ir 2 A3L2 — 9 Li nn GY3 = 0,

4 1 À (34) Ua — Gi — > Us + g M + SE As = 0,

La — Al — Yi = 0,

Y3 + Aya — ta = 0.

De même les points de la multiplicité invariante s'expriment en fonction de cinq paramètres arbitraires :

(35) Li—=ViP>, Yi=bat3, L3—=V3%2, Ya—=D,%2, 20%, ya=—(bib2+ 0,0, + bi).

Si l'on écrit que le point (35) est sur la droite (34), on obtient les quatre rela-

tions suivantes entre les a et les b :

150 E. CARTAN | Ji = D, + 4 — lb: = 0,

I 1 1 J, = bi + mb, + a — abs + > ab, 0) (36) d 2 2 2 | ds — b3— a, — @3b3 = 0, \ Je b,+ ab: — & = 0.

Ces équations (36) permettent de définir une transformation de contact qui

transforme l'élément

(di, 2, QG tee Din Ve Us Dis D) dans l’élément

(O1, D, Ds, D,, Ds, qi, Q2 Qu Qu Q5) :

pda + pda + pda + pda, + pda, = qd, + qd, + db, + q,db, + q.:db,.

Cette transformation est définie par les équations (36) et les dix équations

k—= Vs?

ol ol | | (37) Pi = D À da” == di == >» DT (à —= {, D a}. 4, 9), 1 Li

entre lesquelles on élimine les quatre paramètres À.

Soient G, le groupe qui indique comment le groupe (30) échange entre elles les æ5 multiplicités (34), G, celui qui indique comment il échange entre elles les œæ multiplicités (35). Les équations (36) résultant de l'élimination de z, x, L2, La, Vis Ye, Ya entre (34) et (35), le groupe G, laisse invariant l’ensemble des æ multiplicités (36), où les «a sont les variables et les b des paramètres arbitraires et ces æ° multiplicités sont échangées entre elles par le groupe G. Autrement dit, si Af est une transformation infinitésimale quelconque de G,, Bf la transformation infinitésimale correspondante de G :

y of y of ME 24 30 DD — ==; |

on a, quel que soit (1), AJz Se BJ; = (Bis

en vertu des équations (36). Il en résulte

ES it,

> > 7 BUS y» Dr ii