DÉTERMINANT CARACTÉRISTIQUE. ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE. ANG
1. L'équation caractéristique d'un groupe a été introduite par M. Lie. M. Killing l’a prise pour base de ses recherches sur la structure des groupes (Math. Ann., t. 31, 33, 34, 36) et en a montré la grande importance ",.
Étant donné un groupe G engendré par les r transformations infinitésimales indépendantes X,f,X2f,...,X,f, proposons-nous de chercher tous les sousgroupes à deux paramètres dont fait partie une transformation infinitésimale arbitraire Ze,X4f du groupe. Nous aurons pour cela à déterminer r constantes À ha... À telles que
(4) (EeX; ZX) = o2eX if + HE)X y] ;
2 etw désignant deux nouvelles constantes ; naturellement les à ne doivent pas étre proportionnels aux £. Le problème est toujours possible, comme l’a montré M. Lie ), On peut toujours supposer en effet que la transformation infinitésimale considérée est X,f et que 2), — 0. Alors
kr kr (X4, à DuXx) == L Mc = oXif +w : LiX af; k=2 k,s d k=2
w est déterminé par l'équation
nn — O0 C1 14 C1 Ce Cuas — © - NE 123 “133 ss. fr? s L=P, | Ci2r Cr ne Cirr puisona },23,...,)}, par les équations k=r > Cusshg —= wW},, (s— 7 . "9 1);
A) Die Zusammensetzung der stetigen, endlichen Transformationsgruppen, von W. Kuzixe. {re partie, Math. Ann., t. 31, p. 252 sqq.; 2° partie, t. 33, p. 1 sqq.; 3° partie, {. 34, p. 51 sq. : 4e partie, t. 36, p. 161 sqq. Je désignerai dans la suite ces différents mémoires par la notation : Kiuuxe, Z. v. G., f (ou SE, ou III, ou IV),
(2) Lie, Tranformationsgruppen, J, p. 590 et aussi Archio for Math, og Nof.,t, I, 1876.
24 E. CARTAN
et enfin o par l'équation or= > TE k—2
En particulier si dans l'équation (4) on veut que P soit nul, c'est-à-dire si on cherche une transformation infinitésimale ZXX4/ invariante par la transformation
donnée Xe;X;f, w est déterminé par l'équation
Zeru—w Een + ein : Xe;Ci12 Jet — W .., De;Cre (2) — A(w) — (), ZE;Citr ZeiCi PDC CRU
Le déterminant A(w) s'appelle le déterminant caractéristique du groupe, et
l'équation A(w) —= 0 est dite l'équation caractéristique du groupe.
Dans l’emploi de ces expressions on suppose que 4, 6, ...,e, sont des paramètres arbitraires. Si on donne à #,2:,..., e, des valeurs particulières +9,69, …., er, le déterminant deviendra le déterminant caractéristique relatif à la transformation Xe°X,f, de même si l’on exprime les paramètres des transformations infinitésimales d’un certain sous-groupe 4 d'ordre », en fonction de m arbitraires À, À9, ..., Âm, on obtientle déterminant caractéristique(ou l'équation caractéristique)relatif au sousgroupe g, qu'il ne faut pas confondre avec le déterminant caractéristique du sousgroupe g, qui est d'ordre » seulement.
Remarquons que pour «w — 0, les éléments de la u° colonne du déter-
3 +5: Æ of of minant caractéristique sont les coefficients de = Rte dans la transformation Ole; OR?
infinitésimale E,f du groupe adjoint :
1,2%, +.r Ef= À seul p ss de; Sy?
Pt Il en résulte, comme > eE,f = 0,
que le déterminant caractéristique est nul pour vw — 0. Nous poserons
(3) (— L'A(w) = où — We)wt + We)o 2 Le. LE (— AY, (6e).
Le coefficient Vi(e) est un polynome homogène en 2, 6, .…., er, de degré à. On a en outre
LUE MONS We = À ccm dk (4) De UE Ye) — Ste) = Ÿ eécmcpn, NE
