CCC . . . . . . . . CC

2. Supposons qu'on définisse le groupe par les # transformations infinitésimales indépendantes X!f, ..., X;f:

(3) =D EXT, (i= 1,92, ...,r),

S—1 ce qui revient à faire sur les e la substitution

(6) Ex = > hinei, Hal 2er).

i—1 Alors si on pose HONTE S$—1

on à, en se reportant à la formule (8) du chapitre I,

GT 1,2,...r (7) ÿ ci à LA TRES MSN PT

D— 1 pc

Soit A'(w) le nouveau déterminant caractéristique. Si y;; désigne l'élément de a’ qui se trouve à la 2° ligne et à la 7° colonne, nous avons

; Ejÿ —= Au SIN 7 1 8" POINTE ( 1. 2 ‘ (8) Yij >> j j 0 si ij.

et de la même façon pour 4 :

pass j)

(8) Vi — y CsCsiÿ — £;ju).

Je dis que l’on a, en vertu de la substitution (6),

== =" (9) te Dh (i,j =14,2, ...,r).

En effet, en vertu de (8) et (8'), cela revient à démontrer que

CARTAN 4

> Rio(esCseÿ — 5j) = D he — so).

CN pis

Les deux termes en w disparaissent immédiatement et, en utilisant (6), la formule à démontrer devient

: — lat > RER ÿ Mecs

CEROE pas qui se ramène immédiatement à la formule (7). Considérons alors le déterminant D dont l'élément général est

D==à DE à !

Li = y» Revo; = D hÿtio.

On voit immédiatement que D est d'une part égal au produit de 4 et du déterminant H des Lx, d'autre part égal au produit 4’.H. Comme H est différent de 0, il en résulte

A(@} = Au).

De plus le degré du mineur principal de D est égal d’une part à celui de 4, d'autre part à celui de 4. Nous arrivons ainsi au théorème suivant, démontré par M. Umlauft):

Théorème 1. — ÆZlant donné un groupe d'ordre r défini d'une part par les r transformations infinitésimales indépendantes X;f, ..., X,f, d'autre part par les r transformations

XF REX; on passe du premier déterminant caractéristique du groupe au second, en effectuant sur les ei la substitution (6), et de plus le degré du mineur principal du déterminant caractéristique ne change pas. En particulier on a Were ee CN ace DCE)

D’après ce théorème on peut toujours, par exemple, supposer que de) se

réduit à e, ou à 0.

3. D'après l’origine même du déterminant caractéristique, il est bien vraisemblable que les racines de l'équation caractéristique sont des invariants du groupe adjoint. Cela du moins est certain si toutes ces racines sont simples. Mais on peut le démontrer directement ®). Voici la démonstration de M. Engel, beaucoup plus simple que celle de M. Killing, qui procède de proche en proche pour chaque coefficient We), We),

(1) V. Unraur, Ueber die Zusammensetzung der endlichen continuierlichen Transformations-

gruppen, insbesondere der Gruppen vom Range Null. Leipzig, 1891, p. 15 sqq. (2) CF. Kiuuine, Z. V2 G., 1, p. 259 sqq.

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS 27 On a

| : O4 + OA E,A = > E,Yi dy = » CoCoysCsij dy ’ (7) ij

ou, en tenant compte de la formule (6) (chap. 1),

ï D 04 E,4 = ») Col CuisCwsj + SRE

re dYÿ s oA O4 Es > Cais( si + Est) Dr on Cusÿ(Vis + Est) di sb li Sy li à — (à Ci — >» cu }s NI} î j On a donc le théorème suivant, très important : Théorème II. — Les coefficients Vie), …., Yrte) de l'équation caractéristique

sont des invariants du groupe adjoint.

Comme, d'après ce théorème, les racines de l'équation caractéristique sont des invariants du groupe adjoint, si A(w) contient en facteur un polynome du) = w — y(e)o" + E 1(e), les 7 étant des polynomes en e,, 6, ..., e,, il est clair que ces polynomes y seront

aussi des invariants du groupe adjoint.

Corollaire. — Si le déterminant caractéristique contient en facteur un polynome entier, homogène, de degré m en w, e,, .……., e,, le coefficient de w" étant l'unité, les

coefficients des autres puissances de w sont des invariants du groupe adjoint.

. Suppos Lo) I: - invari q oup nné.

4. S sons qu'on connaisse un sous-groupe invariant 4 du groupe do On peut toujours supposer, d’après le S2, que ce sous-groupe est engendré par

nr ja ee. -4 DE

Alorson a 72e AO Sr Combi ke —"Ù, UN EE VE = 1 9,2 mn

(1) Si on se reporte au chapitre précédent ($ 9), on voit que l'équation pile) = ZE ec; = 0 dk définit un sous-groupe invariant d'ordre r —1 du groupe. Ce théorème à été démontré par

M. Læ (Archiv for Math. og Nat., X, p. 88), puis par M. Excez (Leipz. Ber., 1886, p. 89) et M. KmuG (Z. v. G., I, p. 263).

Il en résulte que dans le déterminant caractéristique on a Van 10: GE A2,, 2 TN 2; eee on):

Par suite le déterminant caractéristique se décompose en deux : AU) PA ET MR EME ENT

Nous voyons que le premier facteur ne dépend que de #,, #, …, en et pas de Emi +. . Quant au second facteur, si on y fait à — € ne En =), CE n’est pas autre chose que le déterminant caractéristique du sous-groupe invariant. Il résulte de là que le déterminant caractéristique relatif au sous-groupe invariant (S1)est,à w”* près, le déterminant caractéristique de ce sous-groupe invariant.

Rappelons d'autre part un théorème de la théorie des groupes, dû à M. Lie( :

Si un groupe G admet un sous-groupe invariant q, il existe un groupe G' iso-

No A Ya, mr |

morphe mériédrique à G, et à la transformation identique duquel correspond dans G le sous-groupe invariant q, et réciproquement, si G' est isomorphe mériédrique à G, il correspond à sa transformation identique un sous-groupe invariant de q.

La correspondance dont il est question dans l'énoncé est celle qui donne aux constantes cx, les mêmes valeurs pour les deux groupes.

Ici en particulier il existe r transformations infinitésimales Y;f, ..., Y,f, Yuaf, .... Y,f, les r—m dernières étant identiquement nulles, et satisfaisant aux relations

RADIEDD IT AAE

s—1 Ces > transformations déterminent un groupe G d'ordre m: Yif,..., Ynf, que nous dirons associé au sous-groupe invariant g. Nous voyons que le déterminant |7;| n’est autre chose que le déterminant caractéristique du groupe G.

Théorème III). — Soient q un sous-groupe invariant d'ordre r—m d'un groupe G d'ordre r, G' le groupe isomorphe d'ordre m associé à q, le déterminant caractéristique de G contient en facteur le déterminant caractéristique de G'; de plus le déterminant caractéristique de q est à w” près le déterminant relatif à ce sousgroupe invariant.

On à un théorème analogue pour un sous-groupe quelconque.

Théorème IV. — Le déterminant caractéristique relatif à un sous-groupe quelconque q contient en facteur le déterminant caractéristique de ce sous-groupe F). ee CU

(1) Lie, Transformationsgruppen, I, ch. 17.

(2) V. Uuraur, loc. cit., p. 34.

(3) Cf. Umwraur, loc. cit., p. 32.

Car si, comme on peut toujours le supposer, X,/f, ..., X,f sont les transformations infinitésimales de ce sous-groupe, on a, pour toutes les transformations eXaif + RPC ECS En:

Yom; = 0, CR md 2 ol),

5. M. Killing a fondé sur les propriétés des coefficients 4;(e) de l'équation caractéristique une classification des groupes finis et continus).

Définition. — On appelle rang d’un groupe le nombre de ceux des coefficients de l'équation caractéristique, qui sont indépendants. Cette définition est légitime, en vertu du théorème I, car elle ne dépend pas des transformations infinitésimales indépendantes choisies pour définir le groupe. Comme les polynomes v'e) sont des invariants du groupe adjoint (th.IT), le rang du groupe est au plus égal au nombre des solutions distinctes du système complet ir Ef= Din (u= 1,2,...,7r), où y: est l'élément y,; du déterminant caractéristique où on aurait fait w = 0; d’après cela le rang est au plus égal à l’ordre du mineur principal de A(0). Si m est cet ordre, il est bien clair que l’on a

bafe) = bee) = + = Vr-m-+i(e) = 0,

puisque (e) est une somme de mineurs à 1 lignes et : colonnes de A(0). On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème V®). — Ze rang d’un groupe est au plus égal au nombre des racines identiquement nulles de son équation caractéristique.

En particulier si %,.(e) n’est pas identiquement nul, le rang est égal à 1. La réciproque n'est d’ailleurs pas vraie. Nous verrons plus tard que dans le cas %.1(e) 0, on peut toujours ramener ce polynome à l’une des formes e;-! ou

v—1 (ei — exe3) ? .

Si tous les polynomes Ÿ sont nuls, le groupe est de rang 0.

Si on se reporte au théorème IL, on voit que le rang d’un groupe G' isomorphe mériédrique au groupe G est au plus égal au rang du groupe G; car au fond le rang n’est que le nombre des racines indépendantes de l'équation caractéristique.

(4) KiuuG, Z. v. G., I, p. 266 sqq.

(2) Cf. KizuG, loc. cit., p. 267.

30 E. CARTAN

6. M. Killing fait une étude particulière des groupes pour lesquels %,.(e) n'est pas identiquement nullt). J’aborderai immédiatement le cas général où l'équation caractéristique admet une racine nulle multiple. |

D'une manière générale si l'équation caractéristique relative à une transformation déterminée X,f admet une racine w, différente de 0, il existe toujours une transformation X,/f distincte de la première et telle que

(XaX2) = wÿXf.

Si w, — 0, enest-il toujours ainsi?

D'abord si le groupe est de rang zéro, X;f fait partie d’au moins un sous-groupe à deux paramètres X;/, Xf, et l’on a

(KiX2) = aXif + DXif.

Si l’un des deux nombres a et b n’était pas nul, # par exemple, on aurait (x “. +Fx) = PET + . xf) | de sorte que l'équation caractéristique relative à X,f admettrait la racine h, ce qui H'eSDDAS DONC UE A0 Pet (MX 0!

Il en est autrement si le groupe est de rang /=>0. Soit F un invariant du

groupe adjoint, homogène et de degré m en e6,,,...,e,. Supposons que le-

DR} mineur principal de A(0) soit du premier ordre pour une certaine transformation infinitésimale efXif+...+exX,f. Soit (a 2 :

Ef= Du (u=—=1,2 .

En appelant A;; le mineur de A(0) relatif à «;;, on a

(41) DE (Ur (as = 192 ST LE à

(12) > dodi = 0, (p,5=1,2,...,r),

D'autre part

13 Dr — = 2 CM

(1) KicuinG, Z. v. G., I, p. 276-285. Il s'est glissé dans cette première partie une erreur qui est rectifite dans la troisième partie, p. 80 sqq.

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS 31 Er (14) + AC i = (O (e —S 4e 2: . n}.

i=1 Comme l’un des mineurs, A,, par exemple, est différent de 0, on peut poser, en comparant (42) et (14), (45) AO: LME RER ER DE d’où, en portant dans (41), È

(GPS > dar 0, (er tte de 7).

1— 1 Il en résulte

(16) Du = 0, (b=1,2,...,r) = Les À n'étant pas tous nuls, puisque À,2£0, la comparaison de (43) et (16) permet de poser (17) — = pÀ;, MM nr)

d'où, par suite,

OF = (48) mE — > Ci Fo D Ch p D Ag — pue).

Si donc une transformation infinilésimale annule 4,i(e) sans annuler lous les nuineurs du premier ordre de A(0), elle annule tous les invariants du groupe adjoint homogènes et de degré non nul.

Si alors l'équation caractéristique relative à une certaine transformation infinitésimale X,f admet k racines nulles (4 <'k<7r), cette transformation n’annule certainement pas l’invariant 4, ;(e), et par suite elle annule tous les mineurs du premier ordre de A{0); autrement dit, il existe une transformation X,f échangeable avec elle (c’est-à-dire telle que (XiX,) = 0).

Mais il y a plus; l'équation (18) est vraie quels que soient e,, 6, ...,e,. Si donc le groupe est de rang {=>0, oubien %.(e)Z0, et alors l[—1, ou bien tous les mineurs du premier ordre de A(0) sont identiquement nuls, et dans ce cas toute transformation infinitésimale est échangeable avec au moins une autre.

En se rappelant ce qui a été dit tout à l'heure pour le cas {—0, on peut énoncer le théorème suivant :

(1) Cf. Lie, Transformationsgruppen, TL, p. 616 sqq., où des considérations du même genre sont appliquées, et où se présente un polynome ge, e», …,e») de degré r—1, qui n'est autre chose que d, 1 (e).

32 E. CARTAN

Théorème VI. — Si le polynome %,,(e) de l’équation caractéristique d’un groupe est identiquement nul, toute transformation infinitésimale du groupe est échangeable avec au moins une autre transformation infinitésimale W,

Si dite) <0, on ne peut plus rien dire. Par exemple pour le groupe à trois

paramètres X1f, X,f, Xaf :

(X1X2) = Xif, (XIXSE=R2X 7 (X2X3) = X;f, on à Wroaile) — Ve) = 4e; —%e;; X;f annule de), mais n’est échangeable avec une autre transformation infinitési -

male du groupe.

M. Killing démontre le théorème précédent en remarquant que si (X;X2) = Xi/,

l'équation caractéristique relative à X;f n’a que des racines nulles, car alors

C2 = Cu = = Car = 0, nu = 1, d;\ 1 et par suite EYE — () = — (We = TU 64, e—1 L es—0 e,—0 ae 2e e,—0 ey—=0

X1f annule tous les polynomes .

Je n’insiste pas sur le reste de la démonstration et me contente de renvoyer

7. Cela étant, appelons avec M. Killing # le nombre des racines identiquement nulles de l'équation caractéristique, et supposons 4 > 1. Prenons une transformation infinitésimale générale, c’est-à-dire pour laquelle 4%, ;(e) Z0. Nous pouvons toujours supposer que X,f est une telle transformation. Alors d’après le théorème VI, il existe au moins une autre transformation échangeable avec la première, soit Xaf :

ECO Le déterminant caractéristique relatif à X,f est alors Alw, 4, 0, ..., 0) = w? | ci — cs; |, ORNE NE ne Em)

Si #2, on pourra déterminer une transformation infinitésimale indépendante de X;/ et de Xf, telle qu'en la combinant avec X;f, on obtienne une transformation de la forme aX;f + 6X;f, soit X;f:

(XiXs) = ciXif + cinXaf ; alors A(w, 1,0, ..., 0) = — ui. | Cie Eole (à, =D or).

(2) CF. Kizun6, Z. v. G., Il, p. 4 et 5, et Umraur, loc. cit. p.22 et 23. (2) V. Krcuw6, Z. v. G., I, $ 5, p. 269 et II, & 10, p. 4.

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS ni)

Si 3, on pourra de même trouver une transformation X,f telle que CUX;) = Cu Xaf + CisaXaf + Css Xof et ainsi de suite, jusqu'à (XiXx) = CmXif tn CiXof + one CareiX x 1f. Le déterminant caractéristique se réduit alors à AM 0, 0) = (— 41}fof, | ce; — eo |, CNRS USE De 1) Gomme l'équation caractéristique relative à X,/ n’admet que k racines nulles, on a RERAE AS NERRE RER P), et par suite il est impossible de trouver une transformation infinitésimale

HSE SAN Ge boom CAGE telle que | à \ (Xi, Ex aX x 1 ap 2" + e,X,) — a X1f + 42X2f -+ RÉ + 2 Xf.

Nous avons donc fait correspondre à la transformation générale X,f, # — 1 autres transformations, X2/, X2:/,...,X,/. Je dis que les # transformations DURANT forment un groupe. Je suppose en effet qu’on ait démontré que tous les crochets CN on M 0 Th; j 1,2). .., kr), dépendent linéairement . de Ai Ko, +, X; je disquil en estencoreainsipour %— 1, 2,..., h + 1. Eneffet,

on à s—h Sn (Ki(Kr1Xn+2)) = > Cint,s XX 2) CR > Cinte,sXsX741), S—1 Ce |

d'où il résulte que (Xx/1Xs,2) combinée avec X;/, ne dépend que de Xif, .…, Xaf. Donc, d'après une remarque faite plus haut, (X,,,Xx,>) ne dépend aussi que de "Xi, . .; Xf.

On aura de même

sh 5 —h 122

(Ki(Kn1Xn+s)) = > Chr (Xe Nr) re D Cints(XsXn +1), Ss—1 S—i

ce qui démontre la proposition pour (Xx,1X»4:), et ainsi de suite.

Comme le théorème est vrai pour —1, il en résulte qu'il est vrai d’une manière générale, et par suite les À fransformations infinilésimales X;f, X,f, …, X4/ forment un groupe.

Je dis que ce groupe est de rang zéro. En effet, considérons l'équation caractéristique relative au sous-groupe X:/,...,X,f. Elle s'écrit

CARTAN 5

34 E. CARTAN

les sommations étant étendues de 1 à k. Cette équation admet X racines identiquement nulles, puisqu'il en est ainsi, par hypothèse, de l'équation caractéristique générale. Or le deuxième déterminant n’admet pas de racine nulle pour