DEN A EE

donc il n’en admet pas non plus dans un certain domaine autour de ce système de valeurs. Par suite le premier déterminant est, à l’intérieur de ce domaine, divisible par w", c'est-à-dire que l’on à identiquement

(20) Dec — eo | = (— 1), (G,j1—=1,2,..., À).

Autrement dit, le sous-groupe Xif, …, Xif est de rang zéro. Prenons maintenant une transformation générale quelconque appartenant à ce sous-groupe, soit aXif + + eXyf. On ne pourra jamais avoir d'égalité de la

forme (eiXi Hi HeXz, ÂpiaXpua + + \Xy) — BiX1f + Co BaXxf

sans que tous les À ne soient nuls. Il en résulte que le sous-groupe d'ordre Æ qui correspond à cette transformation infinitésimale ne contient aucune transformation indépendante de Xif, ..., Xxf, c’est-à-dire coïncide avec le sous-groupe Ne ee Nu.

Théorème VII. — £tant donné un groupe d'ordre r dont l'équation caractéristique admet k racines identiquement nulles et k seulement, toute transformation générale de ce groupe fait partie d’un sous-groupe d'ordre k et de rang zéro. Ce

sous-groupe nest contenu dans aucun sous-groupe plus grand de rang zéro.

8. Revenons à la transformation générale X,f et au sous-groupe de rangzéro, Xif,..., X;f, dont elle fait partie. Les transformations infinitésimales X4.:f,..., X,f ne sont jusqu'à présent soumises qu’à la seule condition d'être indépendantes de Xif,..., Xxf. On peut en profiter pour annuler tous les coefficients

Ca le Ce NE.

Posons en effet

# Es = aie D Ai, x}, (à — 4 22 oo k).

(2) V. Kizun, Z. v. G., IT, p. 7 et 8, et aussi UmLaur, loc. cit., p. 24-32.

Alors on a == ==) $—=k Gi) D arrc(tief— DarteXf) + Dansskf F1 Cm | s—=1 px S—p—1 \ LL 7 p Ê me > Ai 0 >> CipsX sf î (2 —1,2,...,r — k).

ps 1 S— 41

Nous avons donc à résoudre les systèmes d'équations suivants, obtenus en égalant à O les coefficients de X;f, Xx1f,...,X1f, dans le second membre :

D) Ci, ktè hote, k — CE & (a M2. 0. k) p—1 p—=r—#

> Ci, ki, polkt op, ki — Ci, ki, ki = nt, KA, %, kA, (id..) p—1

D Ca, ki, k+ok+p, 9 — C4, ki, k—2 — > ji, 001, 0, k—2, (id.) p—1 SEL pr —k SR)

> Cki koi = Chi De eCt ose (id.) p—1 S=—2

On voit que le premier système détermine complètement les quantités ax4i,x; ce système étant résolu, le second détermine les quantités @x4:,x1, et ainside suite. Nous pouvons donc supposer qu’on a des relations de la forme

(21) (XiXy+i) — Ci, xp, kaXe af + LG, ie (D 0e) Je dis de plus que sil'ona r—% transformations infinitésimales du groupe, SON im V1 OÙ

PARA de, CESR il 5 telles que p—=r—} pr Re Ne Rte Dante fe G=d,2,..,1b), p—1 p—1

les constantes rx, étant les mêmes que dans les formules (21), les transformations Yy:1f, ..., Y-f ne dépendent que de Xz,4f, .…, X,f. En effet, égalons

36 E. CARTAN

dans les deux membres de (22) les coeflicients de X4f, Xx1f, ..., X1f, en Suppo-

sant que le premier membre (X:Yx,) soit remplacé par sa valeur

4; 2, CCC ES (XiYe+) — D Nr ei Naf ps On aura d’abord = rh = > Ci et ep (GG —=1,2,...,r— h), ce qui donne déjà Ai x = 0; p—=#"—} | puis (= D Gas felkee k—1; (è = 1, 2, el — k) ù ce qui donne Â+i a = 0,

et ainsi de suite, ce quil fallait démontrer. Cela étant, on aura

S—r—Ù (Ki (R2Xx1:)) Æ (X(XiXx+)) — » Ci, Hi, res(X2Xx +) ; S—1 CE PP TE ce qui monire, d’après la remarque précédente, que les (X:X;,;) ne dépendent queden XX 7, :... Ar. Ona ensuite

S—r—h (Ki RX x) = Ca(XiXpts) + Co XoX 54) + y Cie + NaXt s) » ND PT) ce qui montre que les (X,;X:,) ne dépendent que de Xx;1f, .…, X,f. On continuerait ainsi de proche en proche. On arrive ainsi aux formules suivantes : S—r—k COR S CS er 0 S—41 Le sous-groupe X;f,..., X,f laisse invariante la famille de transformations infinitésimales e44Xy af + + + e,X,f.

Théorème VII. — Si Xif,..., X,f désignent le plus grand sous-groupe de rang zéro contenant la transformation générale Xif, ilexiste 7 — KE transformations indépendantes des k premières : Xxsif, …, X,f, et telles que le sous-groupe

Xif, .…, Xaf laisse invariante la famille de transformations ex aXy af + + e,X,f.

(1) CÊ. Umzaur, loc. cit., p. 31.

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS a

9. Supposons toujours que dans le sous-groupe de rang zéro Xi. Xe la transformation X,f soitgénérale. Alors l'équation caractéristique relative à X;f admet >» — k racines différentes de zéro. Supposons que parmi ces r—%# racines, il y en ait p de distinctes, que nous désignerons par 4, @,..., Gp; soient nu, M, .…., m, leurs degrés de multiplicité. Alors en procédant de la même façon qu’au $ 7, nous verrons qu'on peut supposer choisies Xz,41f, ..., X,f de la façon suivante. Posons

k+ mn = À, km = bo, se ne = er:

Nous aurons / (X iX&; Lun) = — aiX y, DE (X iXx. ur = aX x Les CIRE tv Hf

de (X iXx;) = «à Xxf Cr, AN) Le does + Fait = SD CREER

De plus, par un raisonnement déjà fait au $ 8, nous voyons que si une trans-

formation infinitésimale Yf satisfait par Soie à la relation (= aff Er oXe

Yf ne dépend que de X;,1f, ..., X;,/. I en résulte que tous les crochets (X;X;,:), EX). (XXL), (= 1, 2, ..., #) ne dépendent que de Xz,17,..:,Xif. Autrement dit le sous-groupe de rang zéro laisse invariante la famille de transformations ex14Xx44f +... + EX f -

Il résulte de là que le déterminant caractéristique relatif au sous-groupe de rang zéro Xif, ..., X;f se décompose en un produit de p+ 1 déterminants :

Ni Y \

26; ue M VO; | 200, pipi D se. AiCi,k,k441 See.

26;Ci% .. DEC — © Ze:c, ht y . ZiCoppr 0

les sommations étant étendues de 4 à 4. Le premier de ces déterminants se réduit comme nous l'avons déjà vu à (— w}*; le second se réduit, pour Cle = te, — 00 aa = uw},

et ainsi de suite. Si l’un de ces déterminants, le second par exemple, n'était pas, quels que soient &,6,, ..., ex, une puissance parfaite par rapportà w, il y aurait au moins une transformation générale de la forme eXif +... +e;X,f pour laquelle les racines de l'équation caractéristique provenant de ce déterminant ne seraient pas toutes égales. Alors on pourrait pousser plus loin la décomposition du déterminant caractéristique. Nous pouvons donc supposer que l'on a la relation

38 E. CARTAN

Zeic:, HN, 4 O0 Ze;c:, Kj) k41 (23) TN de et dde sr te Perte lient — (03 — w)1, 26iCi, k41, k4 . Xe;c;, Brsiine O w, étant une certaine fonction de &,6, ...,ex, et de même pour les p —1

autres déterminants. De cette façon l'équation caractéristique relative au sousgroupe Xif, ..., Xxf admet p+1 racines distinctes, à SaVOIr :

Our 00510,

On a d’ailleurs, en vertu de (25),

Eh P—m) \ (26) DE > Cikto,kto | = Nuit, 2—1 p—1 ce qui montre que ces racines wy, 62, ...,w, Sont des fonctions linéaires et homogènes de e1,€2, ...,ex, Soit (27) &; = WÙ)e, + 2e, + + + we, G=N 2, 67, ph) Théorème IX. — Si eXif + .....—+ eXif est la transformation infinité-

simale la plus générale du plus grand sous-groupe de rang zéro qui contient une transformation générale déterminée, le déterminant caractéristique relatif à ce sous-groupe se décompose en un produit de facteurs linéaires et homogènes en w, 6, €, ..., ep.

Ce théorème est démontré par M. Killing seulement dans l'hypothèse que les transformations X:/f, ..., X;,f sont échangeables entre elles (), Ce fait se présente, d'après lui, dès que le groupe donné ne contient pas de transformation infinitésimale distinguée ®); cependant dans son 3° mémoire (Math. Ann., t. 34, p. 66) il restreint le théorème au cas où le groupe est son propre groupe dérivé etoù il n'y a pas de transformation distinguée. Nous y reviendrons plus tard et nous donnerons un exemple où le théorème n’est pas vérifié.

10. Désormais nous désignerons le sous-groupe d'ordre # et de rang zéro qui contient une transformation générale déterminée sous le nom de sous-groupe y relatif à cette transformation. Les racines 0, w,, w, ...,w, de l'équation caractéristique relative à ce sous-groupe seront désignées, tant qu'une confusion ne sera pas à craindre, par racines de l'équation caractéristique. Les transformations infinitésimales Xx,1f,..., X,f (v.le $ 9) seront dites appartenir à la racine w, (par

(1) Ki, Z. v. G., Il, p. 9-12.

(2) Kiuwe, Z. v. G., If, p. 8 et 9; la démonstration, qui repose sur la théorie des groupes de rang Zéro, n'est faite que dans le cas où les racines de l'équation caractéristique sont toutes simples.

rapport au sous-groupe y); par analogie les transformations X;f, ..., Xxf du sous-groupe y seront dites appartenir à la racine 0.

Le choix des » transformations infinitésimales indépendantes Xif, ..., NES Xrpafs ce. nf, c.., X;f, fait tel qu'il a été dit dans les paragraphes précédents, constituera ce que nous appellerons une forme réduite du groupe relative au sousgroupes Xi, -.. Xef.

Dorénavant pour simplifier les notations, nous désignerons DA ES NS TR les transformations infinitésimales du sous-groupe y; par Xuf, ..., Xim,/ Celles qui appartiennent à la racine 1, ..., par Xhf,..., X pm, celles qui appartiennent à la racine w,. Nous conviendrons par symétrie de poser w, = 0, m, = k. Alors

ee ile 0 dette net) Ni

Tout ce que nous venons de dire s’applique naturellement aux cas particuliers de Æ—7r (groupes de rang zéro) et de k—1; dans ce dernier cas le sousgroupe y ne contient qu'une transformation infinitésimale.

11. Etant donnée une transformation infinitésimale quelconque appartenant à la racine w,, soit %,.f, considérons une transformation du sous-groupe y, soit Xuf. Si (Xi %u) n'est pas égale à w,%.,f, nous poserons

(Xoidu) = SU Luf + Va; de même (KB) = Bof + Moss et ainsi de suite jusqu’à (Ko: Ban) st Banf ; et le nombre entier À est certainement au plus égal à m,, degré de multiplicité de la racine w.. Cela étant, si un sous-groupe invariant contient la transformation Baf, il contiendra aussi Vosf, Masf; +: à Manf-

Supposons alors qu'un sous-groupe invariant contienne une transformation

infinitésimale de la forme

LAS ne Guf + Bauf + ..

où Buf, Baf,... Sont des transformations infinitésimales qui appartiennent respectivement aux racines w,, w,, &,, ... Si, comme on peut toujours le sup-

poser, les p+1 racines de l'équation caractéristique relative à Xf sont toutes distinctes, le sous-groupe invariant contiendra

GF =(Ku1%) — LR = Baf + [0 — 0 0)Buf + Bafl+ Si je démontre que le sous-groupe invariant contient chacune des transformations

Baf, (ol —w )Bauf + Bf, ..., alors il contiendra (4) —w Bof + Œf, …, (o#@)— w,0@f (h désignant le nombre analogue à À), et par suite, comme w4) £ w,(), il contiendra aussi en! -1f, ..., Huf. Le sous-groupe inva-

40 E. CARTAN

riant contiendra Ba, Gaf, ... et par conséquent Xuf. Mais on peut faire sur %/f la même opération que sur %/ jusqu'à ce qu'il n’y ait plus de transformation appartenant à la racine w,, puis jusqu'à ce qu’il n'y ait plus de transformation appartenant à w,, etc. Finalement on réduira le problème au cas où il y à une seule transformation appartenant à une racine déterminée ; elle appartient alors évidemment au sous-groupe invariant.

Théorème X (). — Ætant donné un groupe G d'ordre r mis sous la forme réduite relative à un sous-groupe y déterminé, tout sous-groupe invariant de G est complètement déterminé par celles de ses transformations infinitésimales qui appartiennent aux différentes racines de l'équation caractéristique relative au sous-groupe +, en ce

sens que toutes les autres transformations du sous-groupe invariant se déduisent linéai-

rement de celles-là.

42. Etant données deux transformations appartenant l’une à la racine w,, l’autre à la racine w.,, que peut-on dire de leur crochet ?

Supposons d’abord que w,+w, ne soit pas unc racine de l'équation caractéristique. Alors on peut toujours supposer que will) + uw.) n’est aucune des quantités O0, ml), ll), ..,.,w,0). On peut alors imaginer les transformations NÉ EE Or den pt choisies de telle façon que

(XX) —= OX if + XaXaf + \X cf ++ miñe ao (AE ee et de même pour Xuf, ... X;m,f. Cela étant, on aura KalXuXa)) = (0,0) + (XX), et comme l'équation caractéristique relative à X4,/ n’admet pas la racine w,(0 + w,0), on en déduit (XX = 0.

On a ensuite, en tenant compte de ce résultat, Gu(XuXa)) = (030 + 0, )(XaX 2), d’où encore (XuXg) = 0, el ainsi de suite. On voit de proche en proche que tous les crochets (X.X,,) sont nuls.

Supposons maintenant que w,+ uw, soit une racine, w, par exemple. On

peut supposer que toutes les racines 0, lt), ...,w,{) sont distinctes. Alors on

aura RafXuXa)) = SUUXuXu),

ce qui montre que (XAXA) appartient à la racine w, et se déduit linéairement de

(1) KiLuNG, Z. v. G., IL, p. 12-13 ; le théorème est démontré dans le cas où toutes les racines sont simples.

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS 4 Xaf X:»/, CCE Xomaf - De plus (XX) = AUX aX 4) + ha(XaXs1),

d'où, d'après une remarque précédente ($ 9), on voit que (XX) appartient encore à la racine w,, el ainsi de suite.

Théorème XI (). — Ze crochet de deux transformations infinilésimales appartenant respectivement aux racines w, et w estnul si w,+ 4 n’est pas une racine, et appartient à la racine w, sù ù, + 0 = 0.

Les indices x, 6, à sont quelconques dans lasuite 0, 1,2,...,p. Si en parliculier w, = —w,, les crochets (X;;X;4;) appartiennent au sous-groupe +.

43. Nous allons trouver dans ce dernier cas une relation remarquable entre les racines de l'équation caractéristique relative à une telle transformation (X,;X4;) du sous-groupe y (my; — — w,).

Soient, pour simplifier les notations, %.f et &,f deux transformations appartenant respectivement aux racines w, et w,——w,. Soit w, une racine quelconque de l'équation caractéristique relative au sous-groupe y; parmi les racines de la forme 0, + mw,, m étant un entier positif ou négatif, soit w, + hu, celle pour laquelle » est le plus grand et ww — h'w, celle pour laquelle m est le plus petit. Posons

Wy +0, = ,, O, +0, = 0, LS 0, +0, = 0, = 04 + ho, We UE L, , — 40} —"u)}, TE DE D =D = Up — h'o.. — Posons enfin CA » EoiXoif »

V4) =, (GaXsi) = > dir Xrif 3 (= 1,2, ..., me), j=1 EUR (GX) = Ÿ brrenXif, (i =1,2,...,m,) js et les relations analogues. Ecrivons alors les identités de Jacobi ®) es Ga Xi Se LC: Ua X;; =: = 0.

Nous aurons en particulier

(4) V. Kuu6, Z. v. G., I, p. 280 sqq.; Il, p.14; IT, p. 69. (2) Je pose pour abréger XX Xy = (XX ;)X3) + (KXpX;) + (KA XX ;)

CARTAN

42 E. CARTAN

| D—k I=M, D ConC(owsis) — > Uaie 0 (eÿoù » ( = 1,2, ..., Me) ; Go 1 » j—1 D— À =" 0, D — Ÿ annee + À Botte : (i = 1,2, ...,m), W=—1 j—1 Î—A1 D—k jm, =, D ConC(onerd = > ein be + > Bip) Lu » (= 1,2, ..., M), 5—1 j—=1 Î—1 D—k =, > Com Com) — D De) Haras (= 1,2, ..., m3).

D —1 jf

Ajoutons membre à membre toutes les égalités que nous obtenons ainsi. Il vient

D —} > Ego P) + 2e + mo, 9 Emo + ++ + mo) = 0,

W— 1 ou =} (28) (me + m, +: + ms + mm, +: + mi) D) io el)