AA

= = (Nm +. + om, — 0m, — hm,) > Epiwal)..

ss |

Comme le coefficient m,+m, + ... est certainement différent de 0, on voit qu'on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème XII. — Si on considère la transformation du sous-groupe + obtenue en combinant deux transformations appartenant respectivement aux racines égales et de signes contraires w, el —w,, les racines de l’équation caractéristique relative à cette transformation sont des multiples réels et commensurables de l’une d’entre elles, à savoir la racine w, elle-même.

Si la racine w, relative à cette transformation est nulle, toutes les autres sont nulles ®); c'est ce qui se présente certainement si « —0, c’est-à-dire si on combine deux transformations de +.

Corollaire ). — L’équalion caractéristique relative au groupe dérivé du sousgroupe y a toutes ses racines nulles.

(2) C£. Kizuie, Z. v. G., Il, p. 45 et 16.

(2) Cf. Kruue, Z. v. G., IL, p. 80, 99.

(8) Cf. Kizuwe, Z. v. G., IL, p. 59 sqq.

44. Enfin une formule analogue à la formule (28) s'obtient en considérant les racines de la forme mow,, m étant un entier positif. Si À est la plus grande valeur possible de l’entier m, si on pose

Va = Vas b, — 20; ; Wa, = he, on à FX (29) (ay + Mas + Me) DT 00 = D Cana" 500) Copa am)» p—1 Us Ep

LT ON = Se Un), On voit en particulier que si l’on a, quel que soit o,

(KopXai) = MX sf, il en résulte

(me, Em, HE me, —1)Zcpe oo —= 0; ou bien la racine w, est simple, il n’y a pas d'autre racine de la forme mo, (m >> 1); ou bien l'équation caractéristique relative à (XAX,';) a, quel que soit J, toutes ses racines nulles ().

45. Les huit premiers paragraphes de ce chapitre ne sont, à part quelques petits changements ($6), que le résumé de la première partie de la Thèse déjà citée de M. Umlauf; ils contiennent les démonstrations de théorèmes dus à M. Killing, mais où la précision et la rigueur faisaient défaut. C’est en très grande partie à M. Engel que sont dues les démonstrations que j'ai rappelées.

Les théorèmes exposés dans les derniers paragraphes appartiennent aussi à M. Killing, quoique le théorème XII ne soit énoncé nulle part dans toute sa généralité. Mais M. Killing se borne dans son mémoire au cas où toutes les racines non nulles de l'équation caractéristique sont distinctes ; ou du moins, quand il examine le cas général, il suppose que les transformations du sous-groupe y sont toutes échangeables entre elles, ce qui, d’après lui, se présente toutes les fois que le groupe est son propre groupe dérivé ou n’admet pas de transformation distinguée. Or cette dernière affirmation est inexacte, et, serait-elle exacte, que M. Killing n'aurait pas démontré dans toute leur généralité les théorèmes IX, X, XI et XII,

qui sont fondamentaux.

(1) Cf. Kizuie, Z. v. G., LE, p. 89.