TUE

Si © = wy EL «, Ë, nous avons les équations suivantes : S;; © —=wù — (ow; — w;)(é, j) S;:;1l0)—= 0 —(w;+o;(i,j,7) Solo] = © — 2 w,.(007).

Si l’involution du E, définit un groupe réel, l’involution qu’elle détermine dans le système D, définit un groupe réel du type D,. En effet, on démontre comme pour le groupe F,; que tout cycle défini dans le système E, par l’involution est également un cycle dans le système E,.

Les involutions du D, qui définissent un groupe réel peuvent être réduites, en effectuant une permutation des indices, à l’une des formes ($ 5):

1 ar (a=s+1,s+2,...,s+9—6) Î 2 mn (LD ES (il Feu (em1 M6 ae 00,6 El

S'il correspond à l’une des ces involutions, une involution du système E,” il en correspondent deux, définies par les équations précédentes auxquelles on ajoute

Pr.

Pour que les équations |i) définissent de cette manière des involutions du E;, il faut et il suffit que s soit pair. En effet, la racine

LE 8; 6 + go} se transforme en Sete où Ea = Eo et E1——E#.

La condition nécessaire et suffisante pour que cette expression soit une racine est :

Or, He&=(— 1) Le; —{|— 1) et la condition est alors que s soit pair. Les équations (ii) définissent toujours une involution du E,, car 11 (D) = 1. Remarquons que nous pouvons changer de signe un nombre pair des ($*) sans changer la forme du système E,. De cette manière on pourrait

EX

s’arranger à avoir == +1; 0,—=0,—=0, =0, = +1.

Cherchons dans les divers cas les cycles non entièrement contenus dans le système D,.

1: Les involutions qui admettent une racine invariante sont toutes équivalentes à une involution par laquelle (007) + (007) et E = €.

= (a—=s+1,;s+2,...,s+09—6) 4 __# (d=1,2,...,5, où s est pair)

Sol Pol Si

Les équations (2) nous permettent d'exprimer cette involution sous la forme ISSU 12. Si s f:1-— à).

Si Ss— 0, l’involution est l’identité, et le groupe réel qu’elle définit est le groupe normal de caractère 7.

Si s — 2, l’involution est S;, S,,,. La racine (1, 2, 7) est purement imaginaire et la racine (3, 7) se transforme en {1, 2,3) —{3, 7) + (1, 2, 7). Les racines (3, 7) et (1, 2, 3) forment alors un cycle d’ordre un.

Si s — 4, les racines purement imaginaires sont (2, uj),{2,u,7)et (2, u, 7) Hu 1,2, 4dj'et 24:

Le tableau des racines qui n’appartiennent pas au D, est:

racines y cilies STE (000) + (000) {000) 0 (a, 7) + (006) (a,7),(a,À,u),(00b) ,(a,», x) 2 (a, À, ui (a,», A Buste, 7) | (uv), (u,ni,(x,7),(,7) | 2 (a, b, À) + (00 2; (a, b, À), (a, b, u), (00 4), (00 u)' 2

Tout cycle est alors d’ordre pair ou zéro, et il existe un groupe réel. L’involution est

Era Fetes I d’où 9 —=3, 0 —4. T=—= 24 et Ü=Q—06—1t—— 25.

Si s— 6, la racine (1,7) se transforme en (001), et les racines (1,7), (6,7) et (2,5, 6) forment avec leurs transformées (001)}/, (006) et (134), un cycle

d’ordre trois.

Et = É« aid Dire 6 sa T— à)

involution qui peut s’écrire II Sex (a —1,2,3).

— Ab —

La racine {«, 7) est transformée en («,7), et la racine (&, «) est purement ima- | ginaire, Les deux racines («, 7) et («, 7) forment alors un cycle d’ordre un.

(iii) ET (B=—=2,3,4,5;P—=17— a).

Cette involution est S,,, Sy Sy. Les racines purement imaginaires sont + (1, 6,7), + (2,5) et + (3,4), et r = 6, Le tableau des racines qui n’appartiennent pas au système D,, avec les cycles qui les contiennent, est :

racines | cyic es ordre (000), (&, 7), (00 «), (000), («, 7), (00 &), (&, 8, 6) sont réelles (&, 8, B) respectivement : (8,71 (a, a, À (8,7), 18,7), (a, «, B), (a, @, 8) (a, 8,7) (a, 8,7) |: (a, 8,y,(e, 8, yh le, B, y), (a, 8, 2 (8, y, y) + (00 8)! (8, y, y}, 18, », »), 100 87, (00 8)!

où a= 1,06; 6,7= 2,3, 4,5.

Il n’y a pas de cycles d'ordre impair et l’involution est définie par les équations :

(EX Ou E") == EL 0, E°) | en 519; GS

KE a) = —(E"— 0)

o=4,0=3,1—-=6 et 0=— 5.

Il: Les involutions qui n’admettent pas de racines invariantes. | Elles sont toutes équivalentes à une involution pour laquelle {[007)-+ — (007)

et = —#", Or toutes les involutions définies par les équations (i), (ii) et (iii),

+0 () . * ‘ N . « avec £ —=—#, laissent invariante au moins une racine, à l'exception de l’involution :

E — — 0 Ft Â=1,2,...,6)

Cette involution est alors la seule qu’il reste à considérer. Elle définit le groupe réel unitaire de caractère — 133, et peut s’écrire :

Soor 22 (Sa St) in Cod TN Et AT