Le groupe F

Les racines caractéristiques sont !) (,7) = {x — x?)

lé,j,k)= tx + xi + xt)

(Éo —=—{(i,,k)

où 2,/j,k—1,2,...,06 et D AR TELE Les opérations S, sont” S (0) Re (= m;) (ë, J) Sijk (o) —= + P/s te M; — mx) (ë, ji, k) Sooo (w) = © +- 1/, Ê m. (0 0 0). Si une involution échange entre elles deux racines dont la somme ou la différence est une racine, cette dernière est invariante au signe près. Si la

1RCS PS0 OP; De 72; "GP... p =:

— A2 transformée d’une racine est orthogonale à cette racine, les racines orthogonales à toutes deux forment un sous-système invariant. Or, les équations

Il Sy; 20e) Î) Er (£, Js k) | SE ñ (é, ÿ k) == (000,

montrent qu’on peut supposer l’une des deux racines égale à (000). L’autre sera de la forme (4, A), et les racines orthogonales seront (4, j) (,j k,h); elles forment un système du type A,, dont toute involution admet au moins une racine invariante au signe près ($ 2). Il en résulte que toute involution du système FE, admet aussi au moins une racine invariante au signe près, et il suit des équations (1) qu’elle est équivalente à une involution qui laisse invariante au signe près la racine (000) Les racines orthogonales à (000), soit (ë, j) (4, j = 1, 2,..., 6), forment un système A; invariant par une telle involution.

Je dis maintenant qu’il est nécessaire pour que l’involution du système FE; définisse un groupe réel, que l’involution du système A; qu’elle détermine, définisse un groupe réel du type A;. En effet, la somme de deux racines du système A; est toujours une racine du système A, si elle est une racine du E,;. De plus une racine purement imaginaire du A; est une racine purement imaginaire du E,;. Il en résulte que tout cycle défini dans le système À; par l’involution est également un cycle dans le système E,;, et doit par suite être d’ordre pair.

Les involutions du système A; qui définissent un groupe réel peuvent être réduites par une permutation des indices à l’une des formes {$ 2):

(i) x xt(a—1,2,...,6)]

(ii) x = x; (a=—1,9,.. ,6;a=—7-—à)

. x — xéla—1,2,...,2p;a@—2p4}1—0a) ii x ——xla=2p+1,...,2p+q=6).

Chacune de ces involutions définit deux involutions du E,, la première étant donnée par les équations précédentes, et la seconde étant obtenue en multipliant la premiére par l’opération S,,,.

Il ne reste qu’à chercher dans chaque cas les cycles non entièrement contenus dans le système A;.

I: Si l’involution admet une racine invariante, nous pouvons supposer que (000) + (000). Il y a trois cas possibles :

(i) wa 1, 10,

Cette involution est l’identité, qui donne le groupe réel normal, de’ caractère 6. .

(ii) ua SO net Gear Dh

La racine (y, y) est purement imaginaire, (a, &, y) se transforme en (æ,a,”]

et ces deux dernières forment un cycle d’ordre un. Cette involution ne définit donc pas de groupe réel.

Sn À re

(ii) LES ten: 25 ep et ÉRDRO PLIS — D; 10; a=1— à) x = Sooo te 2 a=p+1,...,p+q—=6—p)

Si g—0, il n’y a pas de racines purement imaginaires. Il n’y a donc pas de cycles d’ordre non nul, et il existe un groupe réel défini par cette involution, qui peut se mettre sous la forme

| a a œ r Ge x) = (xx) (a = 1, 2, 3)

(or) us x) =—(x— x) —($ — xf) [8 = 2, 3).

Donc e=4, 6—2, 1—0 et Ü—p—0—7T—2.

L’involution est le produit de la transformation x°—— x par l’opération D io Ses (= 1,29)

Si 9 = 2, (3,4) est une racine purement imaginaire.

(4, a, 8) Sooo(4, @, B) = [3, @, B)

et ces deux racines forment un cycle d’ordre un.

Si g—4, ies racines purement imaginaires sont (a, b) (a, b = 2, 3,4,5) et 7—12. Le tableau des racines qui n’appartiennent pas au système A; et des cycles qui les contiennent est :

racines | cycles | ordre

(a, &, &) + Sooo(a, &, à) —=(b, c, d) 26 =

(a,a,a) —+(b, c, d) + — (a, b, a) = Sooo (a, b, a)! TE (c, d, a) (a, b, a), (é; b, a), 2 G-do) cle; dr) |

et il n’y a aucun cycle d’ordre impair. L’involution est définie par:

D x = ES (x)

= Gel — x) = (xt — x6) . Ge) — (x — x5) © (a 2, 3,4) 2x — x — y —— 9x5 tr PE | et o=2, o—4 et 5 —12, donc | Ô Es pr 14.

L’involution est le produit de la transformation *——x' par l'opération Sooo S16: |

Si g—6, les racines purement imaginaires sont (a, b) (a, b—1,2,...,6). La racine (1, 2, 3) se transforme en Sooo(1, 2, 3) —(4, 5, 6) et les racines (1, 2, 3),

(4, 2, 3, (4,5, 3), avec leurs transformées, forment un cycle d’ordre trois. Il n’y a donc pas de groupe réel.

11: Si l’involution n’admet pas de racines invariantes nous pouvons supposer que (000)->— (000) Toutes les involutions ainsi déterminées, à l'exception de deux, laissent invariante au moins une racine. Ces deux involutions sont :

Cette involution définit le groupe réel unitaire, de caractère — 78. (ii) x%= So00 (x“) la=1,2,...,6; a—7— a).

Les racines purement imaginaires sont (a, a), + (000) et + {a, B, y) où les indices a, B,y; @, 6, y sont tous différents. Il y a donc 24 racines purement imaginaires. Le tableau des racines non purement imaginaires qui n’appartiennent pas au système A,;, et des cycles qui les contiennent est alors

racines (a, a, B}, + Sooo(a, & B) = (y, y, B}

cycles (a, a, b}, (a, a, 6), (y, y, 8}, = a, &, B + (000), }s (Ys Ÿs Bj'

ordre: 2

Il existe alors un groupe réel. L’involution est 32 Lee er LEE Re (122,3)

dou 0—=2,0—4,1—216l | 0 — — 26.

L’involution peut s’écrire S, ,o 1 Sa x(a = 1 ,2,3).

En résumé, il y a cinq groupes réels du type E,:

li) Le groupe réel normal de caractère 6.

(ii) le groupe de caractère 2 défini par linvolution Siso IL Sux IG 172, 3; a—7T— à) multiplée par M —— x", (ii) le groupe de caractère — 14 défini par le produit de S,,, Sx et

(iv) Ze groupe de caractère — 26 défini par So o 0 LL Sax.

(v) Le groupe unitaire de caractère — 78.

FE Le groupe E,.

Les racines caractéristiques sont!) = x — x

ë,J, k) —= (xt = sel + x)

irs k)! = —|{;is k) ' OÙ) = x — D (x/) Gil (OOi) = — (00:) où é,j,k—1,2...,7, ces indices étant tous inégaux. :

Les opérations S4 sont?

Toute involution du système laisse invariant l’ensemble des paires de racines égales et opposées, dont il y a un nombre impair. Au moins une de ces paires est alors invariante, et au moins une racine est invariante au signe près. Il suit des équations

S;zh (é, Fe k) FE (é, h)

Sooz (é, À) = (005)

S7; (00 :) = (007), qu’il existe une automorphie qui transforme une racine quelconque en + (007), d’où il résulte que toute involution est équivalente à une involution qui laisse invariante au signe près la racine (007). Les racines orthogonales à (007), soit (ä, j, 7), (à, j, 7) et (à, j) (Ü—=1,2,...,6), forment un système D, invariant par l'involution, système qui peut s’exprimer sous la forme

Hé + é/ CT A PP ii HÉSITER Le système E, est alors ES hihi); nié #8

où &—+1, Ile;——1 et £—(007)

re} Æ ee med,