Le groupe F

Les racines caractéristiques sont!

OL£7,4=1,2,...,9 et Y(—=0 Les opérations S, sont? :

J S;; {c) = 0) — (M; — M) 5 (4, j) / 1 q, TS, x L> ‘ | Self = 0 + (Em) — mi —m, —m).(i, j, 4).

Il résulte des équations Si À S; (4, j) CS (1, 2) S;;# Sx1 KG, j, k) (1, 2), où nous convenons de dire que S;; représente l'identité, qu’il existe une automorphie qui transforme une racine quelconque en {1,2), Si alors une involution laisse invariante une racine au signe près, elle est équivalente à une involution qui laisse invariante au signe prés la racine (1,2). Les racines orthogonales à (1,2) forment un ensemble invariant par une telle invoWtion. Ces racines sont

[4 (é,J), + (4j, k) et +(12,9=+4i#— 9); (4, j,k=3,4,...,9),

qui forment un système E, ($ 7). Une involution de ce système E, laisse invariante au . près au moins une racine, que l’on peut toujours supposer

F0 à p— Duel 2, 9).

Si une involistion du E, échange entre elles deux racines, elle laisse invariantes au signe près la somme et la différence de ces racines, et si l’une

de ces quantités est une racine, le problème se réduit au cas précédent.

EE AM ge JE bp ; Nous ne supposons pas ici que Ym; =0,

APADT—

8i enfin une involution échange entre elles deux racines orthogonales, on peut supposer l’une d’elles égale à (1,2) et l’autre à (1,2,9) Dans tous

les cas alors, une involution est équivalente à une involution qui laisse invariant l’ensemble des quatre racines:

Les racines qui ne sont orthogonales ni à (1,2) ni à (1, 2,9) forment également un sous-système invariant. Ce sont les racines : (4) + (1,a, Æ(2,0), +1,02 12,0 0) (a=3;4;.54,8) Il est de même des racines orthogonales à (1,2) et à (1, 2,9): (5) (a,b), +{a, b,9) et ces trois sous-systèmes (3), (4) et (5) forment un système du type D, invariant par l’involution, soit:

(ë, 4}, (ki; 9) (if =1,2,34440) Ce système peut s’écrie md (5j =D)

= ti, et le système E, devient:

NE où &=+1 et [[a—=—1.

Si une involution du E; qui laisse invariant ce système D, définit un groupe réel, l’involution du système D, qu’elle détermine, définit également un groupe réel, car tout cycle du D, est également un cycle du E.. L’involution du D, peut se réduire alors, par une permutation des indices, à l’une dés formes ($ 5):

û [E=-r A = 1, 2,..,5 LEE (a—=s+1, s+42,...,s+g:==8) FOR Et (&@—1,2,...,8;a—0—a; 0 = 67 +1).

La condition nécessaire et suffisante pour que les équations (i) définissent une involution du E, est que s soit pair, car elles transforment la racine 2 2(e&Ë) en FLE) où & —e et &=—0, et il faut et il suffit pour que cette quantité soit une racine que s soit pair. Les équations (ii) au contraire définissent toujours une involution du système E;. Cette involution laisse invariantes les deux racines orthogonales ([£1+-0, &s) et (£2 0, ET); elle est alors équivalente à une involution qui laisse invariantes les racines (1,2) et (1,2,9), et si nous exprimons celle-ci sous l’une des formes (i) et (ii), les

racines (1,2) et (1,2, 9) deviendront {£' + £) où £'—E' et E—E, L’invotion est alors de la forme (i), d’où il résulte que toute involution définie par

des équations de la forme (ii) est équivalente à une involution définie par des équations de la forme (i).

Cherchons pour les différentes valeurs de s les cycles non entièrement contenus dans le système D,..

Si S—0, l’involution est l'identité et on obtient le groupe réel normal de caractère 8.

Si Ss—=2, la racine - Ye; Ë') se transforme en (22 (es &t)— (se, Êt+e, &)}

et la racine (e, Ë1 8, £?) est purement imaginaire. Nous avons alors un cycle d'ordre un.

Si s—4, les racines purement imaginaires sont en Ex Æ Ex) et De 24

Les racines qui n’appartiennent au D, et les cycles qui les contiennent sont :

racines | Let) LUE) oùe =; —— 0€ | Gien, ie) Rbtemh {Ter Le (SE) He tte)

ordre | 2 ous

Tout cycle est alors d’ordre pair. L’involution étant :

a [l D ESS

o—6—4 et Ô—=e—5— L’involution peut s'exprimer sous la forme:

S129 Sga So Sau9 - En effet, EE) (1,2), (É—E)=(3,4), (A +8)=[(1,2,9) et (E5+E)—(3,4,0). Si s— 6, les racines fur bi) VS Les ee 7e ft +r,8)) DORE (F8) — 1e 2 et Le (I DteE)— (8 Et 8 8) —(e, +6, 84) } forment avec leurs transformées un cycle d’ordre trois. Si s—8, toute racine est purement imaginaire et le groupe réel défini par l’involution est le groupe unitaire de caractère — 248,

En résumé, il y a trois groupes réels du type E;: li) Le groupe normal de caractère 8.

lüi) Le groupe réel de caractère — 24 défini par So S3a S 129 S340 ge (ii) le groupe réel unitaire de caractère -— 248 défini par

H(S:3Si7) U=2,4,6,8;4— À —1).