Le groupe F

Les racines caractéristiques sont! :

| (= + (,j) = (x — xi) 5 Dix = + 1) oùi,j—= +1, È2,23,+4;iÆ TI.

Les opérations S. sont? :

S:{œ) = © — 2 m;.{|i) S:; {w\ — 0 — (m; — m;) . (ë, j) Se, (&) = © = (Y em: (5 Desxi).

Les seules racines qui soient la somme de deux autres sont les racines (é, j). Elles forment alors un système du type D, invariant par toute involution du système F,.

Les racines {i) et (52 &: x!) peuvent toutes s'exprimer sous la forme Sn + (8, n} où (é,j), (k,/) sont deux racines orthogonales, les indices n'étant pas nécessairement tous distincts. Inversement, toute expression de cette forme est une racine, Il en résulte que toute automorphie du D, laisse invariant le F,, et que toute involution du D, définit üne involution bien determinée du F,. De plus, deux involutions équivalentes du D, définissent deux involutions équivalentes du F, et réciproquement. Si l’involution du système F, définit un groupe réel, il en est de même de l’involution du D,, car tout cycle du D, est un cycle du F,. Toute involution du D, qui définit un groupe réel est équivalente à une involution de la forme ($ 5):

Si 9 0, les racines purement imaginaires sont (2) et (4, u), et = 2 s°.

Si S—0, l’involution est l'identité, et nous aurons le groupe réel uormal de caractère 4.

Jaguar, p. 82. :

Ses — 1, ES DEEE {a Dr) — xt }, et ces deux racines forment un cycle d'ordre un. De même, si s—2, les deux racines {5 x l et + D — {x3 + x1)} forment un cycle d’ordre un.

Si s—3, les racines non purement imaginaires qui n’appartiennent pas au système D, sont :

| racines | (a) SDlex EL V(G.x) où me; Ea——e, cycles (la +Dte an}; iSler)—e xt: SG) 19 (ex) Le xt) ordie Lo! 2

et tout cycle est d’ordre pair ou zéro. L’involution est

+ x1—= xi Donc, e=1, 6—3, 1—18 et Ü—çe—co—71t1—— 20. L’involution peut se

mettre sous la forme S:3 Siy Sa.

Si s—4, toute racine est purement imaginaire, et nous aurons le groupe

réel unitaire de caractère — 52. L’involution peut s’écrire

Sue Sa S a’ SA °