CHAPITRE II

1. Généralités): Une représentation d’ordre # d’un groupe infinitésimal est un espace vectoriel à # dimensions dans lequel il est défini un ensemble de matrices (ou tenseurs à un indice covariant et un indice contravariant) associées aux éléments X du groupe. Elles satisfont aux conditions suivantes :

(i) à chaque élément X du groupe est associée une matrice Æ et une seule, et inversement ;

(ii) K+Y=S si X+Y=7Z (iii) FA = 0) si aX=Y (iv) KY-YÿY=S si LERAESFA

Nous pouvons sans ambiguité représenter les éléments du groupe et les matrices qui leur correspondent par le niême symbole X. Représentons par X, y,... les vecteurs de l’espace. Un système de coordonnées étant défini dans l’espace d’une représentation, les vecteurs de coordonnées seront appelés une base de la représentation, et les matrices associées aux éléments d’une base du groupe seront appelées une structure de la représentation.

Si le groupe est complexe, l’espace de la représentation est nécessairement à variables complexes; mais si le groupe est réel, l’espace peut être ou bien à variables réelles ou bien à variables complexes. Dans le premier cas la représentation est dite réelle et dans le second elle est dite complexe. Si G est le groupe que définit un groupe réel G par le passage du réel au complexe, une représentation À de 6 peut toujours être regardée comme une représentation complexe de G; mais elle ne définit une représentation réelle de G que si, par un choix convenable de sa base, sa structure devient réelle pour une base de G qui est une base du groupe réel G considéré comme sous-groupe de G. Au contraire, toute représentation réelle R de G définit une représentation complexe de G et une représentation À de 6.

Un sous-espace linéaire À, d’une représentation À d’un groupe 6 est dit invariant si X(x\ C R, lorsque XCS et x CR; l'expression X (x) représente le produit du vecteur x par la matrice X. Si % n’admet aucun

1) G. P., et H. Weyl, loc. cit., I, p. 275 et seq,